Question

Решите неравенство f ' (x)<0 если f(x)=x^3/6 + x^2 - 6x

Answer 1

$f(x)=\frac{x^3}{6} + x^2 - 6x$
Найдем производную, заодно вспомним правило - производная суммы\разности, равна сумме\разности производных.

Найдем нашу производную:
$(\frac{x^3}{6} + x^2 - 6x)'= \frac{x^2}{2}+2x-6$

Теперь подставим в неравенство:
$\frac{x^2}{2}+2x-6\ \textless \ 0$
Решим его:
$x^2+4x-12\ \textless \ 0$ - умножили на 2.
$x^2+4x-12=(x-2)(x+6)$ -упростили.
$(x-2)(x+6)\ \textless \ 0$
Найдем нули:
$x_1=2$
$x_2=-6$

Отмечаем их не отрезке, и мы получили 3 интервала:
$(-\infty,-6),(-6,2),(2,+\infty)$
Находим знаки:
$(-\infty,-6) = +$
$(-6,2)=-$
$(2,+\infty)=+$

Так как мы ищем интервал который меньше нуля, то подходит только 2:
$(-6,2)$

То есть:
$x\in (-6,2)$