Question

1.С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x) = x^4 - 8x^2 + 3.

Answer 1

Ответ:

Функция возрастает на промежутках: [-2; 0];  [2; +∞).

Функция убывает на промежутках:  (-∞; -2]; [0; 2].

Объяснение:

С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции:

f(x) = x⁴ - 8х² + 3.

• Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.
• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Производная степенной функции:

$\boxed {\displaystyle \bf (x^n)'=nx^{n-1} }$

f'(x) = 4x³ - 8 · 2x = 4x³ - 16x

4x³ - 16x = 0

4x (x² - 4) = 0

4x (x - 2)(x + 2) = 0

x = 0;     x = 2;     x = -2.

Получили четыре промежутка:

1. (-∞; -2]

Возьмем, к примеру, х = -3.

Определим знак f'(x):

4·(-3)(-3-2)(-3+2)=-60 ⇒ f'(x) < 0

2. [-2; 0]

Возьмем, к примеру, х = -1.

Определим знак f'(x):

4·(-1)(-1-2)(-1+2)=12 ⇒ f'(x) > 0

3. [0; 2]

Возьмем, к примеру, х = 1.

Определим знак f'(x):

4·(1)(1-2)(1+2)=-12 ⇒ f'(x) < 0

2. [2; +∞)

Возьмем, к примеру, х = 3.

Определим знак f'(x):

4·(3)(3-2)(3+2)=60 ⇒ f'(x) > 0

$---[-2]+++[0]---[2]+++$

Функция возрастает на промежутках: [-2; 0];  [2; +∞).

Функция убывает на промежутках:  (-∞; -2]; [0; 2].