Question

Доведіть, що 3¹² - 3¹⁰ кратне 8.

Answer 1

Ответ:

как-то так

Объяснение:

Для того, щоб довести, що число 3¹² - 3¹⁰ є кратним 8, необхідно довести, що воно є парним і кратним 4.

Для цього можна скористатися фактом, що кожне число, що має останні дві цифри 00, завжди буде кратним 8, оскільки кратність 8 означає, що число повинно бути кратним 2³ (тобто мати 3 нулі на кінці). Або ж можна скористатися тим, що будь-яке число, що має в своєму розкладі простого множника 2 два рази, є кратним 4.

Звернімо увагу, що:

3¹² - 3¹⁰ = 3¹⁰ (3² - 1) = 3¹⁰ (9 - 1) = 3¹⁰ × 8

Оскільки число 3¹⁰ містить дві цифри 0 на кінці, то 3¹² - 3¹⁰ є кратним 8, а отже і парним та кратним 4.

Answer 2

Для доведення того, що число $3^{12} - 3^{10}$ кратне 8, ми можемо розглянути це число в контексті залишків від ділення на 8.

Залишок від ділення числа на 8 визначається його останніми трема десятковими цифрами. Якщо ці три цифри утворюють число, кратне 8, то саме число є кратним 8.

Ми можемо використати деякі властивості піднесення до степеня, щоб спростити вираз $3^{12} - 3^{10}$: $3^{12} - 3^{10} = (3^2)^6 - (3^2)^5$ $= (9)^6 - (9)^5$ $= 9^5 \cdot 9 - 9^5$ $= 9^5 \cdot (9 - 1)$ $= 9^5 \cdot 8$

Отже, ми бачимо, що $3^{12} - 3^{10}$ можна записати у вигляді $9^5 \cdot 8$. Число $9^5$ точно кратне 8, оскільки $9^5 = 3^{10}$, і всі степені трійки, які більші за $3^1$, завжди кратні 8. Тому ми маємо: $3^{12} - 3^{10} = 9^5 \cdot 8$

Оскільки $9^5 \cdot 8$ множиться на 8, то $3^{12} - 3^{10}$ також буде кратним 8.