Question

Найти интеграл ∫(2xe^(-x)dx

Answer 1

Відповідь:

Щоб знайти цей інтеграл, ми можемо скористатися методом інтегрування за частинами. Цей метод полягає в тому, щоб розбити підінтегральну функцію на дві частини і застосувати формулу:

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx

де u(x) і v(x) - це довільні функції.

Таким чином, ми обираємо:

u(x) = 2x (від нього ми будемо брати похідну)

v'(x) = e^(-x) (його ми будемо інтегрувати)

Тоді:

u'(x) = 2

v(x) = -e^(-x)

Застосуємо формулу:

∫(2xe^(-x)dx) = -2xe^(-x) - ∫(-2e^(-x)dx)

= -2xe^(-x) + 2e^(-x) + C, де С - це довільна константа інтегрування.

Отже, окремий інтеграл ∫(2xe^(-x)dx) = -2xe^(-x) + 2e^(-x) + C.

Answer 2

Чтобы найти интеграл от функции ∫(2xe^(-x)dx), мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫(u * dv) = u * v - ∫(v * du),

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае, можно выбрать u = x и dv = 2e^(-x)dx. Тогда получим:

du = dx (поскольку производная x по x равна 1), v = -2e^(-x) (поскольку интеграл от e^(-x)dx равен -e^(-x)).

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу интегрирования по частям:

∫(2xe^(-x)dx) = u * v - ∫(v * du) = x * (-2e^(-x)) - ∫(-2e^(-x) * dx) = -2xe^(-x) + 2∫(e^(-x)dx).

Интеграл от e^(-x)dx равен -e^(-x), поэтому:

∫(2xe^(-x)dx) = -2xe^(-x) + 2(-e^(-x)) + C = -2xe^(-x) - 2e^(-x) + C,

где C - произвольная постоянная. Таким образом, интеграл от функции ∫(2xe^(-x)dx) равен -2xe^(-x) - 2e^(-x) + C.