Question

Найдите значение sin a/2 и cos a/2 если 0<a<П/2 cosa =1/3​

Answer 1

Решение .

Если   $\bf 0 < a < \dfrac{\pi }{2}$  .  то   $\bf 0 < \dfrac{a}{2} < \dfrac{\pi }{4}$    и   $\bf cos\dfrac{a}{2} > 0\ ,\ \ sin\dfrac{a}{2} > 0$   .

$\bf cosa=\dfrac{1}{3}$  

Применяем формулы понижения степени .

$\bf cos^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{1+cosa}{2}=\dfrac{1+\dfrac{1}{3}}{2}=\dfrac{3+1}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\ \ \Rightarrow \ \ \ cos\dfrac{a}{2}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt6}{3}\\\\\\sin^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{1-cosa}{2}=\dfrac{1-\dfrac{1}{3}}{2}=\dfrac{3-1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\ \ \Rightarrow \ \ \ sin\dfrac{a}{2}=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt3}{3}$

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся формулами половинного угла для тригонометрических функций.

Известно, что: cos(a) = 1/3 0 < a < π/2

Используя формулу половинного угла для косинуса: cos(a/2) = ±√((1 + cos(a))/2)

Поскольку 0 < a < π/2, то косинус a положителен, следовательно, cos(a/2) будет положительным.

Заменим cos(a) на 1/3 в формуле половинного угла для косинуса: cos(a/2) = √((1 + 1/3)/2) = √(4/6) = √(2/3) = √2/√3 = (√2/√3) * (√3/√3) = √6/3 = (√6)/3

Таким образом, значение cos(a/2) равно (√6)/3.

Используя формулу половинного угла для синуса: sin(a/2) = ±√((1 - cos(a))/2)

Заменим cos(a) на 1/3 в формуле половинного угла для синуса: sin(a/2) = √((1 - 1/3)/2) = √(2/6) = √(1/3) = √1/√3 = 1/√3 = (1/√3) * (√3/√3) = √3/3

Таким образом, значение sin(a/2) равно √3/3.

Итак, получаем: sin(a/2) = √3/3 cos(a/2) = (√6)/3