Question

Знайдіть загальні розв'язки лінійних однорідних рівнянь 1) 2y''-3y'-5y=0 2) y''+2y''+4y'+8y=0

Answer 1

Ответ:

$y'''+2y''+4y'+8y=0\\l^3+2l^2+4l+8=0\\l=2\\l=\pm2i\\= > y=C_1e^{2x}+C_2sin(2x)+C_3cos(2x)$

$y''-3y'-5y=0\\2l^2-3l-5=0\\l=-1\\l=5/2\\y=C_1e^{-x}+C_2e^{2.5x}$

Answer 2

Відповідь: 1) y(x) = C1*exp(-x)+C2*exp(5*x*(1/2))

                    2) y(x) = C1*exp(-2*x*(1/3))*sin(2*sqrt(5)*x*(1/3))+C2*exp(-2*x*(1/3))*cos(2*sqrt(5)*x*(1/3))

Пояснення:

Answer 3

1. Розв'язок лінійного однорідного рівняння 2y'' - 3y' - 5y = 0 можна знайти, шукаючи характеристичне рівняння, що його супроводжує. Представимо розв'язок у вигляді y = e^(rx), де r - невідома змінна. Підставляючи це у рівняння, отримаємо:

2(e^(rx))'' - 3(e^(rx))' - 5(e^(rx)) = 0.

Другу та першу похідні від e^(rx) отримуємо, диференціюючи двічі та один раз відповідно:

2r^2e^(rx) - 3re^(rx) - 5e^(rx) = 0.

Згрупуємо експоненти разом:

e^(rx)(2r^2 - 3r - 5) = 0.

Отримуємо характеристичне рівняння:

2r^2 - 3r - 5 = 0.

Розв'язавши це рівняння, знайдемо значення r. Після цього можна виразити загальний розв'язок у вигляді комбінації експонент і степеневих функцій, використовуючи отримані значення r.

2. Розв'язок лінійного однорідного рівняння y'' + 2y'' + 4y' + 8y = 0 можна знайти аналогічно. Шукаємо розв'язок у вигляді y = e^(rx) і підставляємо його у рівняння:

(e^(rx))'' + 2(e^(rx))' + 4(e^(rx)) + 8(e^(rx)) = 0.

Отримаємо характеристичне рівняння:

r^2 + 2r + 4 = 0.

Розв'язавши це рівняння, знайдемо значення r і виразимо загальний розв'язок у вигляді комбінації експонент і степеневих функцій, використовуючи отримані значення r.