Question

Составьте уравнение касательной в точке M(0;2) к графику функции: f(x)=3x^2+sin⁡x+2.

Answer 1

f'(x) = 6x + cos(x)

Значение производной функции f(x) в точке M(0;2) равно:

f'(0) = 6*0 + cos(0) = 1

Теперь, используя значение производной и координаты точки M, мы можем составить уравнение касательной:

y - 2 = 1(x - 0)

y = x + 2

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции в точке M(0, 2) нужно найти значение производной функции в этой точке. Затем уравнение касательной можно записать в виде y - y₁ = m(x - x₁), где (x₁, y₁) - координаты точки M(0, 2) и m - значение производной в этой точке.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx(3x^2 + sin(x) + 2).

Производная суммы функций равна сумме производных каждой функции: f'(x) = d/dx(3x^2) + d/dx(sin(x)) + d/dx(2).

Производная постоянной равна нулю, а производная синуса равна косинусу: f'(x) = 6x + cos(x).

2. Подставим значение x₁ = 0 в производную f'(x) и найдем значение производной в точке M(0, 2): f'(0) = 6(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1.

3. Теперь можем записать уравнение касательной: y - y₁ = m(x - x₁), где (x₁, y₁) = (0, 2) и m = f'(0) = 1.

Подставляем значения: y - 2 = 1(x - 0).

Упрощаем: y - 2 = x.

Окончательное уравнение касательной в точке M(0, 2) будет: y = x + 2.