Question

Являются ли π/4 и 5π/4 абсциссами точкой пересечения графиков функций y=cosx/sinx и y=1? ​Укажите абсциссы точки разрыва в промежутке [0;2π]

Answer 1

Ответ:

Точки пересечения графиков фунций можно найти из системы.

$\left\{\begin{array}{l}\bf \ y=\dfrac{cosx}{sinx}\\\bf y=1\end{array}\right$  

Известно, что  $\bf \dfrac{cosx}{sinx}=ctgx$  .  Эта функция определена при тех

значениях переменной, при которых  $\bf sinx\ne 0$  , то есть при  

$\bf x\ne \pi n\ \ ,\ n\in Z$   .   В этих точках функция $\bf y=ctgx$   терпит разрывы

второго рода .

 Решим уравнение  $\bf ctgx=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=\dfrac{\pi }{4}+\pi k\ \ ,\ k\in Z$  .  Это точки

пересечения заданных графиков функций .

При  $\bf k=0$ получим, что   $\bf x=\dfrac{\pi }{4}+\pi \cdot 0=\dfrac{\pi }{4}$  .

При  $\bf k=1$ получим, что   $\bf x=\dfrac{\pi }{4}+\pi \cdot 1=\dfrac{5\pi }{4}$  .  Поэтому  значения переменной  $\bf \dfrac{\pi }{4}$   и   $\bf \dfrac{5\pi }{4}$  являются абсциссами точек пересечения

заданных графиков функций .

Точки разрыва функции на промежутке  $\bf [\ 0\ ;2\pi \ ]$  имеют абсциссы,

равные   $\bf 0\ ,\ \pi \ ,\ 2\pi \ \ \ \ (\ x\ne \pi n\ ,\ n=0,1,2\ )$  .  

Answer 2

Чтобы определить, являются ли π/4 и 5π/4 абсциссами точкой пересечения графиков функций y=cosx/sinx и y=1, нужно найти значения y для каждой функции при данных значениях x и проверить их равенство.

Для первой функции y = cosx/sinx: y = cos(π/4) / sin(π/4) = (√2/2) / (√2/2) = 1

Для второй функции y = 1: y = 1

Таким образом, обе функции принимают значение 1 при x = π/4 и 5π/4, поэтому эти точки являются абсциссами точки пересечения графиков.

Чтобы найти абсциссы точек разрыва в промежутке [0;2π], необходимо рассмотреть, где знаменатель sinx обращается в ноль. Значение sinx равно нулю, когда x = 0, π и 2π. Поэтому точки разрыва в указанном промежутке: x = 0, π и 2π.