Question

Sin^2 (4x) = 1/4 Розв'язати рівняння

Answer 1

Ответ:

x = ±π/4 + πk/4 , k∈Z

Объяснение:

$\displaystyle \sin {}^{2}( 4x) = \frac{1}{4}$

Используем формулу понижения степени.

Если sin²α= (1-cos2α)/2 , то sin²4α = (1-cos8α)/2 , с этого следует:

$\displaystyle \frac{1 - \cos8x}{2} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\displaystyle1 - \cos8x = \frac{1}{2} \\ \\ - \cos8 x = \frac{1}{2} - 1 \\ \\ \cos8x = \frac{1}{2} \\ \\ 8x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 \pi k \\ \\8x = \pm \frac{ \pi}{3} + 2 \pi k \\ \\ x = \pm \frac{ \pi}{24} + \frac{ \pi k}{4} , k \in Z$

Ответ: x = ±π/24 + πk/4 , k∈Z

Answer 2

Для розв'язання рівняння sin^2(4x) = 1/4 спочатку знайдемо значення sin(4x).

sin^2(4x) = 1/4

Застосуємо квадратний корінь до обох боків:

sin(4x) = ±√(1/4)

sin(4x) = ±1/2

Тепер розглянемо два випадки:

1. sin(4x) = 1/2: У цьому випадку можна використовувати спеціальні значення синуса. Знаходимо значення, для яких sin(θ) = 1/2, де θ - кут в стандартній позиції (0 ≤ θ ≤ 2π). Зазвичай використовуються кути 30° і 150°:

4x = 30° + 360°n, де n - ціле число або 4x = 150° + 360°n, де n - ціле число

Розв'язавши обидві рівності відносно x, отримуємо:

x = (30° + 360°n)/4, де n - ціле число або x = (150° + 360°n)/4, де n - ціле число

2. sin(4x) = -1/2: У цьому випадку знову шукаємо значення, для яких sin(θ) = -1/2. Зазвичай використовуються кути 210° і 330°:

4x = 210° + 360°n, де n - ціле число або 4x = 330° + 360°n, де n - ціле число

Розв'язавши обидві рівності відносно x, отримуємо:

x = (210° + 360°n)/4, де n - ціле число або x = (330° + 360°n)/4, де n - ціле число

Таким чином, рівняння sin^2(4x) = 1/4 має розв'язки:

x = (30° + 360°n)/4, де n - ціле число x = (150° + 360°n)/4, де n - ціле число x = (210° + 360°n)/4, де n - ціле число x = (330° + 360°n)/4, де n - ціле число