Question

Доведіть, що коли α, β, γ - кути трикутника, то sin (α+β)/2 = cos γ/2

Answer 1

Ответ:

a+b=180-y

sin((a+b)/2) = sin((180-y)/2)=sin(90-y/2)=cos(y/2)

Объяснение:

Answer 2

Щоб довести твердження sin((α+β)/2) = cos(γ/2), використаємо тригонометричну формулу підвищення:

sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y).

Почнемо з формули для sin((α+β)/2):

sin((α+β)/2) = sin(α/2 + β/2).

Застосуємо тригонометричну формулу підвищення:

sin(α/2 + β/2) = sin(α/2) * cos(β/2) + cos(α/2) * sin(β/2).

Тепер розглянемо твердження cos(γ/2):

cos(γ/2).

За визначенням cos(θ) = sin(π/2 - θ), ми можемо переписати це як:

cos(γ/2) = sin(π/2 - γ/2).

Тепер, якщо ми порівняємо отримані вирази, ми побачимо:

sin((α+β)/2) = sin(α/2) * cos(β/2) + cos(α/2) * sin(β/2).

cos(γ/2) = sin(π/2 - γ/2).

Зважаючи на вище, ми можемо побачити, що є відповідність між (α+β)/2 та γ/2. Якщо ми припустимо, що α+β=π, тоді ми отримаємо:

(α+β)/2 = π/2.

Таким чином, ми отримаємо:

sin((α+β)/2) = sin(π/2) = 1.

А також:

cos(γ/2) = sin(π/2 - γ/2) = sin(π/2) = 1.

Отже, ми довели, що sin((α+β)/2) = cos(γ/2) при умові α+β=π.