Question

Найдите последние три цифры числа 11²⁰²² , легким способом

Answer 1

Ответ:

321.

Объяснение:

Самый "легкий" способ: Вычисляем последовательно степени 11, отбрасывая, естественно, каждый раз все цифры кроме трех последних, поскольку они не влияют на последующие вычисления:

$11^2=121;\ 11^3=11^2\cdot 11=1331=\ldots331;\ 11^4=11^3\cdot 11=\ldots641;\ \ldots \ ;$

                                               $11^{50}=\ldots 001.$

Поэтому      

                        $11^{2022}=11^{50\cdot 40+22}=(11^{50})^{40}\cdot 11^{22}=\ldots 321$.  

(мы же вычисляли последние цифры у всех степеней до 50-й, в том числе и у 22-й).

Немного более продвинутый способ: вычисляем 3 последние цифры у степеней до пятой:   $11^5=\ldots 051,$ поэтому

                       $11^{10}=(11^5)^2=(\ldots051)^2=\ldots 601;$

               $11^{20}=(\ldots 601)^2=\ldots 201;\ 11^{30}=11^{10}\cdot 11^{20}=\ldots 801;$

                                       $11^{50}=11^{20}\cdot 11^{30}=\ldots 001.$

Кстати, при перемножении чисел вида ...n01 и k01 получаем число с нулем и единицей в конце, а перед ними стоит последняя цифра суммы n+k. Далее как и в первом способе

                    $11^{2022}=(11^{50})^{40}\cdot 11^{20}\cdot 11^2=\ldots 201\cdot121=\ldots 321.$

Answer 2

Для нахождения последних трех цифр числа 11²⁰²² можно воспользоваться методом модуляции.

1. Начнем с того, что 11² равно 121.
2. Заметим, что при каждом возведении числа 11 в степень, последние две цифры остаются неизменными.
3. Таким образом, для нахождения последних трех цифр числа 11²⁰²², нам нужно найти остаток от деления 2022 на 100.
4. Выполняем деление 2022 на 100: 2022 ÷ 100 = 20, остаток 22.
5. Последние две цифры числа 11²² равны последним двум цифрам числа 11² в степени 22, которые мы уже знаем равны 21.
6. Поэтому последние три цифры числа 11²⁰²² будут равны последним трем цифрам числа 11² в степени 22, то есть 121 в степени 22.

Таким образом, последние три цифры числа 11²⁰²² равны 121 в степени 22. Для точного значения этих трех цифр потребуется провести дополнительные вычисления.