Question

Cos2x больше или равно сosx. ДАЮ 100 баллов

Answer 1

Смотри....................

Answer 2

Утверждение "cos(2x) ≥ cos(x)" верно для любого значения x. Давайте докажем это математически.

Используем формулу двойного угла для косинуса: cos(2x) = 2cos²(x) - 1

Теперь сравним это с выражением cos(x): cos(2x) ≥ cos(x)

2cos²(x) - 1 ≥ cos(x)

Перенесем все в одну часть: 2cos²(x) - cos(x) - 1 ≥ 0

Решим это неравенство:

Пусть u = cos(x). Тогда неравенство примет вид: 2u² - u - 1 ≥ 0

Факторизуем квадратное уравнение: (2u + 1)(u - 1) ≥ 0

Из этого выражения следует, что: 2u + 1 ≥ 0 и u - 1 ≥ 0 2u ≥ -1 и u ≥ 1

Рассмотрим два случая:

1. 2u + 1 ≥ 0 и u - 1 ≥ 0: В этом случае получаем, что u ≥ -1/2 и u ≥ 1. Самое маленькое значение для u, удовлетворяющего обоим условиям, это u ≥ 1. Подставим обратно u = cos(x): cos(x) ≥ 1

   Однако, косинус значения больше единицы не может принимать, так как его диапазон значений находится между -1 и 1. Таким образом, этот случай не удовлетворяет исходному неравенству.

2. 2u + 1 ≤ 0 и u - 1 ≤ 0: В этом случае получаем, что u ≤ -1/2 и u ≤ 1. Самое большое значение для u, удовлетворяющего обоим условиям, это u ≤ -1/2. Подставим обратно u = cos(x): cos(x) ≤ -1/2

   Это неравенство имеет решения в интервале [2π/3 + 2πk, 4π/3 + 2πk], где k - целое число.

Таким образом, мы можем заключить, что исходное неравенство cos(2x) ≥ cos(x) выполняется для всех значений x в интервале [2π/3 + 2πk, 4π/3 + 2πk], где k - целое число.