Question

Знайдіть площу фігури, обмеженої параболою y= 2+x-x2 і прямою y=2-x. Строчно

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной параболой y = 2 + x - x² и прямой y = 2 - x равна $\displaystyle \bf 1\frac{1}{3}$  кв. ед.

Объяснение:

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = 2 + x - x² и прямой y = 2 - x.

• Формула площади, ограниченной линиями:

                        $\displaystyle \bf S=\int\limits^b_a {(f_2(x)-f_1} (x))\, dx$

Для начала найдем абсциссы точек пересечения графиков:

$\displaystyle \bf 2+x-x^2=2-x\\\\x^2-2x=0\\x(x-2)=0\\\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=2$

• Еще понадобится формула Ньютона - Лейбница:

                            $\displaystyle \bf \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)$

Построим схематично графики.

Имеем b = 2 (справа); a = 0 (слева); f₂(x) = 2 + x - x₂ (сверху); f₁(x) = 2 - x (снизу).

Подставим эти данные в функцию:

$\displaystyle \bf S=\int\limits^2_0 {(2+x-x^2-2+x)} \, dx =\int\limits^2_0 {(-x^2+2x)} \, dx =\\\\=\left(-\frac{x^3}{3}+2\cdot \frac{x^2}{2}\right)\bigg|^2_0= \left(-\frac{x^3}{3}+x^2\right)\bigg|^2_0=\\\\=-\frac{8}{3}+4-0=1\frac{1}{3}$

Площадь фигуры, ограниченной параболой y = 2 + x - x² и прямой y = 2 - x равна $\displaystyle \bf 1\frac{1}{3}$  кв. ед.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої параболою y = 2 + x - x^2 і прямою y = 2 - x, спочатку потрібно знайти точки перетину цих двох кривих.

Рівняння параболи y = 2 + x - x^2 можна переписати як x^2 - x + (2 - y) = 0.

Зробимо підстановку y = 2 - x в це рівняння:

x^2 - x + (2 - (2 - x)) = 0, x^2 - x + (2 - 2 + x) = 0, x^2 - x + x = 0, x^2 = 0.

Отже, у нас є одна точка перетину (0, 2).

Тепер можемо обчислити площу фігури між цими двома кривими. Для цього візьмемо інтеграл від функції (2 + x - x^2) - (2 - x) від x = 0 до x = 2:

Площа = ∫[(2 + x - x^2) - (2 - x)] dx, з лімітами від 0 до 2.

Розрахуємо цей інтеграл:

Площа = ∫[(2 + x - x^2) - (2 - x)] dx = ∫(x + x^2) dx, з лімітами від 0 до 2 = [(x^2/2) + (x^3/3)] з 0 до 2 = [(2^2/2) + (2^3/3)] - [(0^2/2) + (0^3/3)] = [4/2 + 8/3] - [0] = 2 + 8/3 = 6/3 + 8/3 = 14/3.

Отже, площа фігури, обмеженої параболою y = 2 + x - x^2 і прямою y = 2 - x, дорівнює 14/3.