Question

Поможіть!! Обчислити значення похідної в точці y=(x²-2x-2)⁵; x0=2

Answer 1

$y = ( {x}^{2} - 2x - 2) {}^{5} \\ y' = 5(2x {}^{2 - 1} - 2x {}^{1 - 1} )( {x}^{2} - 2x - 2) {}^{5 - 1} = \\ 5(2x - 2)( {x}^{2} - 2x - 2) {}^{4} \\x _{o} = 2\\ y' = 5(2 \times 2 - 2)(2 {}^{2} - 2 \times 2 - 2) {}^{4} = \\ 5 \times (4 - 2)(4 - 4 - 2) {}^{4} = \\ 5 \times 2 \times ( - 2) {}^{4} = 10 \times 16 = 160$

Answer 2

Щоб обчислити значення похідної в точці x₀ = 2 функції y = (x² - 2x - 2)⁵, спочатку використаємо ланцюжкове правило диференціювання. Далі знайдемо значення похідної в точці x₀.

1. Застосуємо ланцюжкове правило диференціювання: dy/dx = dy/du * du/dx,

   де u = x² - 2x - 2.

2. Обчислимо похідну dy/du: dy/du = 5(u)⁴.

3. Обчислимо похідну du/dx: du/dx = d/dx (x² - 2x - 2).

   Щоб знайти похідну цього виразу, диференціюємо кожен член: du/dx = d/dx (x²) - d/dx (2x) - d/dx (2).

   Застосуємо правила диференціювання: du/dx = 2x - 2.

4. Тепер ми маємо обидві похідні, тому можемо обчислити значення dy/dx в точці x₀ = 2: dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = 5(u)⁴ * (2x - 2).

   Підставимо значення x₀ = 2: dy/dx = 5(u)⁴ * (2 * 2 - 2) = 5(u)⁴ * 2 = 10(u)⁴.

   Значення u в точці x₀ = 2: u = x₀² - 2x₀ - 2 = 2² - 2 * 2 - 2 = 4 - 4 - 2 = -2.

   Підставимо значення u = -2: dy/dx = 10(u)⁴ = 10(-2)⁴ = 10 * 16 = 160.

Таким чином, значення похідної в точці x₀ = 2 для функції y = (x² - 2x - 2)⁵ дорівнює 160.