Question

Дослідження функцій y = (x-1)² / x².​

Answer 1

Щоб дослідити функцію $y = \frac{{(x-1)^2}}{{x^2}}$, розглянемо різні аспекти: область визначення, симетрію, точки перетину з осями координат, поведінку на нескінченності, похідну та другу похідну.

1. Область визначення: Функція $y = \frac{{(x-1)^2}}{{x^2}}$ визначена для всіх дійсних чисел $x$, окрім $x = 0$, де маємо ділення на нуль. Тобто, область визначення цієї функції - $(- \infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Симетрія: Зверніть увагу, що $y = \frac{{(x-1)^2}}{{x^2}}$ не має симетрії відносно осі OY, оскільки $y$ залежить від $x$, а не від $-x$.

3. Точки перетину з осями координат: Щоб знайти точку перетину з осію OX, вирішимо рівняння $y = 0$: $\frac{{(x-1)^2}}{{x^2}} = 0$ $(x-1)^2 = 0$ $x - 1 = 0$ $x = 1$ Тому, функція перетинає ось OX у точці (1, 0). Щоб знайти точку перетину з осію OY, підставимо $x = 0$ у вираз: $y = \frac{{(0-1)^2}}{{0^2}}$ $y = \frac{{1}}{{0}}$, що не є визначеним значенням. Тому функція не перетинає ось OY.

4. Поведінка на нескінченності: Розглянемо межі функції, коли $x$ стрімиться до $+\infty$ і $-\infty$: $\lim_{{x \to -\infty}} \frac{{(x-1)^2}}{{x^2}} = 1$ $\lim_{{x \to +\infty}} \frac{{(x-1)^2}}{{x^2}} = 1$ Отже, коли $x$ стрімиться до $\pm\infty$, функція наближається до $y = 1$.

5. Похідна та друга похід