Question

Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності (x+3)(x-3) - 4(x + 1)² < 3x(1-x).

Answer 1

Ответ:

Розкриємо дужки та спростимо нерівність:

x^2 - 9 - 4x^2 - 8x - 4 - 3x + 3x^2 < 3x - 3x^2,

-2x^2 - 11x - 10 < 0,

2x^2 + 11x + 10 > 0.

Знайдемо корені квадратного рівняння 2x^2 + 11x + 10 = 0:

D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4*2*10 = 41,

x1 = (-11 + √41)/4,

x2 = (-11 - √41)/4.

Оскільки коефіцієнт при x^2 додатній, то графік параболи відкритий вгору і нерівність виконується на проміжках, що не містять коренів рівняння. Тому, нерівність виконується для:

x < x2 або x > x1.

Найменший цілий розв'язок буде x = x2 + ε, де ε - дуже мале додатне число. Підставляючи значення, отримаємо:

x = x2 + ε = (-11 - √41)/4 + ε ≈ -2.77.

Отже, найменший цілий розв'язок нерівності -3.

Answer 2

Давайте розв'яжемо дану нерівність:

(x + 3)(x - 3) - 4(x + 1)² < 3x(1 - x)

Спочатку розкриємо дужки:

(x² - 9) - 4(x² + 2x + 1) < 3x - 3x²

Послідовно спростимо вираз:

x² - 9 - 4x² - 8x - 4 < 3x - 3x²

-3x² - 8x - 13 < 3x - 3x²

Знищимо -3x² з обох сторін:

-8x - 13 < 3x

Перенесемо 3x на ліву сторону:

-8x - 3x < 13

-11x < 13

Розділимо обидві частини на -11 змінюючи напрямок нерівності:

x > -13/11

Найменший цілий розв'язок цієї нерівності буде x = -1, оскільки це перше ціле число після -13/11.

Таким чином, найменший цілий розв'язок нерівності є x = -1.