Question

Розв’яжи рівняння: а)b^4 − 6b^2 + 8 = 0 Виділи квадрат двочлена а) x^2 − 10x − 5; б) x^2 + 6x + 2;

Answer 1

Для розв’язування рівняння b^4 − 6b^2 + 8 = 0 можна провести заміну змінної, наприклад, b^2 = x. Тоді рівняння перетвориться на квадратне:

x^2 - 6x + 8 = 0

Тепер можна виділити квадрат двочлена, віднявши від обох частин рівняння число 2:

x^2 - 6x + 9 - 1 = 0

(x - 3)^2 - 1 = 0

(x - 3)^2 = 1

x - 3 = ±1

Отже, маємо два рішення для x: x = 2 або x = 4. Повертаючись до початкової змінної b, отримуємо:

b^2 = 2 або b^2 = 4

Отже, b = ±√2 або b = ±2.

б) Щоб виділити квадрат двочлена в x^2 + 6x + 2, спочатку потрібно знайти коефіцієнти a, b та c в загальному вигляді квадратного тричлена (ax^2 + bx + c)^2. Розкривши дужки, отримаємо:

(x^2 + 6x + 2) = (x^2 + 2·3x·1 + 3^2) - 3^2 + 2

= (x + 3)^2 - 7

Отже, рівняння x^2 + 6x + 2 можна переписати у вигляді (x + 3)^2 - 7 = 0. Додавши 7 до обох частин рівняння, отримуємо:

(x + 3)^2 = 7

x + 3 = ±√7

Отже, маємо два рішення для x: x = -3 + √7 або x = -3 - √7.

Answer 2

а) Для розв'язання рівняння a) b^4 − 6b^2 + 8 = 0, зробимо заміну b^2 = x. Тоді рівняння перетвориться на квадратне рівняння x^2 − 6x + 8 = 0.

Тепер виділимо квадрат двочлена: x^2 − 6x + 8 = (x − 3)^2 − 1.

Отримали, що рівняння a) можна записати у вигляді (b^2 − 3)^2 − 1 = 0.

б) Для рівняння б) x^2 + 6x + 2 = 0 не можна прямо виділити квадрат двочлена. Рівняння б) не має дійсних коренів. Можна використати формулу дискримінанта, щоб показати це:

Дискримінант D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(2) = 36 - 8 = 28.

Оскільки дискримінант D = 28 > 0, рівняння має два комплексні корені, тому виділення квадрату двочлена не є можливим.