Question

Написати рівняння дотичної до графіка функції y=(x-k+1)3(x+a) у точці х=к

Answer 1

Для знаходження рівняння дотичної до графіка функції у точці x = k, потрібно знайти значення похідної функції в цій точці і підставити значення координати точки та знайдену похідну у формулу дотичної.

Похідна функції y = (x - k + 1)^3(x + a) має вигляд:

y' = 3(x - k + 1)^2(x + a) + (x - k + 1)^3

Підставляємо значення x = k, отримуємо:

y'(k) = 3(k - k + 1)^2(k + a) + (k - k + 1)^3 = a + 1

Отже, похідна у точці x = k дорівнює a + 1. Рівняння дотичної до графіка у точці x = k має вигляд:

y - y(k) = y'(k) * (x - k)

Підставляємо знайдені значення:

y - y(k) = (a + 1) * (x - k)

Після спрощення отримуємо:

y - y(k) = a * (x - k) + (x - k)

або

y = a * (x - k) + (x - k) + y(k)

Це і є рівняння дотичної до графіка у точці x = k.

Answer 2

Для знаходження рівняння дотичної до графіка функції у заданій точці необхідно визначити похідну функції та підставити значення точки у вираз.

Почнемо з обчислення похідної функції y=(x-k+1)^3(x+a). Для цього використаємо правило добутку та ланцюжка:

y' = 3(x-k+1)^2(x+a) + (x-k+1)^3.

Тепер підставимо значення x=к у вираз для похідної:

y'(к) = 3(к-k+1)^2(к+a) + (к-k+1)^3 = 3(1)^2(к+a) + (1)^3 = 3(к+a) + 1 = 3к + 3а + 1.

Таким чином, похідна функції у точці x=к дорівнює 3к + 3а + 1.

Отже, рівняння дотичної до графіка функції y=(x-k+1)^3(x+a) у точці x=к має вигляд:

y - y(к) = y'(к) * (x - к),

де y(к) є значенням функції у точці x=к, тобто:

y(к) = (к-k+1)^3(к+a) = 1^3(к+a) = к + а.

Підставляючи ці значення, маємо:

y - (к + а) = (3к + 3а + 1)(x - к).

Це є рівняння дотичної до графіка функції у точці x=к.