Question

Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії 1/3,1/9,1/27...

Answer 1

$\displaystyle\bf\\b_{1} =\frac{1}{3} \\\\b_{2} =\frac{1}{9} \\\\S=?\\\\\\b_{2} =b_{1} \cdot q\\\\q=b_{2} : b_{1} =\frac{1}{9} :\frac{1}{3} =\frac{1}{9} \cdot 3=\frac{1}{3} \\\\\\S=\frac{b_{1} }{1-q} =\frac{\frac{1}{3} }{1-\frac{1}{3} } =\frac{1}{3} :\frac{2}{3} =\frac{1}{3} \cdot\frac{3}{2} =\frac{1}{2} =0,5\\\\\\Otvet \ : \ S=0,5$

Answer 2

Ответ: 1/2

Объяснение: кожен наступний член починаючи з другого вірізняється від попереднього на число 1/3, значить  знаменником заданної нескінченної геометричної прогресії він і є, тобто q=1/3. Знаменик нашої прогрсії  дріб - одна третья менше по модулю від одиниці, друга важлива властивість - задана прогресія нескінченна і вона спадає.  Наявність цих двох умов ( знаменник менше одиниці і спадання нескіченої прогресії) дозволяють використати формулу для знаходження (условно "всіх") членів нескінченої прогресії : сума такої прогресії дорівнює дробу, в чисельнику знаходиться число - перший член нашої прогрсії, тобто число 1\3, а в знаменику - різниця між одиницею і знамеником, тобто ( 1 - 1/3)= 2/3. Обчислюємо : ділимо 1/3 на 2/3, тобто множимо 1/3 на дріб обернену до 2/3 и одержимо число 1/2.

1/3 : (1 - 1/3) = 1/3 : 2/3= 1/3 *3/2= 1/2. Відповідь : 1/2.

Answer 3

Сума нескінченної геометричної прогресії може бути обчислена за формулою:

S = a / (1 - r),

де S - сума прогресії, a - перший член прогресії, r - знаменник (співвідношення між сусідніми членами).

У даному випадку, перший член прогресії (a) дорівнює 1/3, а знаменник (r) дорівнює 1/3.

Підставляючи ці значення у формулу, отримуємо:

S = (1/3) / (1 - 1/3).

Спрощуючи це вираз, маємо:

S = (1/3) / (2/3) = (1/3) * (3/2) = 1/2.

Таким чином, сума цієї нескінченної геометричної прогресії дорівнює 1/2.