Question

Побудуйте графік функції у = х2 +5х+6. Користуючись графіком, знайдіть: 1) найменше значення функції; 2) проміжок, на якому функція набуває додатних значень; 3) проміжок, на якому функція спадає.​

Answer 1

Щоб побудувати графік функції у = х^2 + 5х + 6, спочатку розглянемо коефіцієнти цієї квадратної функції. У даному випадку, a = 1, b = 5 і c = 6.

Щоб знайти найменше значення функції, ми шукаємо вершину параболи, оскільки це є мінімум функції. Формула для знаходження вершини параболи -x_верш = -b / (2a), y_верш = f(-x_верш). Підставимо значення коефіцієнтів в формулу:
-x_верш = -5 / (2 * 1) = -5/2 = -2.5
y_верш = (-2.5)^2 + 5 * (-2.5) + 6 = 2.25 - 12.5 + 6 = -4.25
Отже, найменше значення функції становить -4.25.

Щоб знайти проміжок, на якому функція набуває додатних значень, ми шукаємо інтервал, де парабола розташована над осі х (тобто, коли у > 0). Оскільки у = х^2 + 5х + 6, ми можемо розв'язати рівняння х^2 + 5х + 6 > 0. Функція набуває додатніх значень на інтервалах, де це нерівність виконується. Застосуємо метод розкладання на множники або скористаємося дискримінантом, щоб знайти ці проміжки. Розкладаємо рівняння на множники:
х^2 + 5х + 6 = (х + 2)(х + 3)

Отримали, що рівняння має корені х = -2 і х = -3. Таким чином, функція набуває додатних значень, коли x знаходиться в проміжку (-безкінечність, -3) та (-2, +безкінечність).

Щоб знайти проміжок, на якому функція спадає, ми дивимось на коефіцієнт а. У нашому випад

Answer 2

Щоб побудувати графік функції у = х^2 + 5х + 6, спочатку розглянемо її загальний вигляд. Функція має квадратичну форму, тобто є параболою. Зауважимо, що у коефіцієнта перед х^2 позитивний, тому парабола відкривається вгору.

Щоб знайти вершину параболи, можна скористатись формулою х = -b/2a, де a і b - коефіцієнти у рівнянні. В нашому випадку, a = 1 і b = 5. Підставимо ці значення:

х = -5/(2*1) = -5/2 = -2.5

Тому вершина параболи має координати (-2.5, y), де y - значення функції у(-2.5). Щоб знайти це значення, підставимо х = -2.5 у вихідне рівняння:

у = (-2.5)^2 + 5*(-2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = 0.75

Тепер, знаючи вершину параболи, можемо побудувати її графік та відповісти на запитання:

1. Найменше значення функції: найменше значення функції дорівнює 0.75, яке досягається в точці (-2.5, 0.75).

2. Проміжок, на якому функція набуває додатних значень: з графіка видно, що функція набуває додатних значень при x < -2.5 або x > -0.5. Тобто, проміжок, на якому функція є додатньою, - (-безкінечність, -2.5) об'єднано з (-0.5, +безкінечність).

3. Проміжок, на якому функція спадає: з графіка видно, що функція спадає на всьому своєму області визначення, тобто на проміжку (-безкінечність, +безкінечність).

Ось побудований графік функції