Question

ПОМОГИТЕ ПРОШУ! При каких значениях параметра а уравнение 9^х-2(а+1)3^х-3а^2+2а+1=0 имеет точно два разных положительных решения​

Answer 1

Ответ:

a∉ R

Объяснение:

Теорема Виета

Произведу замену:

Пусть $3^{x}=t$

В силу того, что $9^{x} =3^{2x}$ получим уравнение

$t^{2}-2(a+1)t-3a^{2}+2a+1=0\\t^{2}-(2a+2)t-(a-1)(3a+1)=0\\t_{1} +t_{2}= 2a+2\\t_{1} \times t_{2}=(1-a)(3a+1)\\t_{1}=1-a\\t_{2} =3a+1$

Одно решение t даёт ровно один корень x, при этом, мы учитываем тот факт, что $3^{x} > 0$, а также не забываем про условие $x > 0$. Значит, для того, чтобы исходное уравнение имело два положительных корня, должно быть найдено два t>1

$> \left \{ {{a < 0} \atop {a > 0}} \right.$

a∉ R

Метод гвоздей:

Должно быть выполнено несколько условий:

$D > 0\\f(1) > 0\\x_{0} > 1$

Решим данную систему:

$4(a+1)^{2} -4(-3a^{2}+2a+1)=4(a^{2}+2a+1+3a^{2} -2a-1)=16a^{2} > 0 \\a\neq 0\\f(1)=1-2(a+1)-3a^{2}+2a+1=-3a^{2} > 0\\x_{0}=a+1 > 1\\ a > 0$

Объединяя получаем a∉ R

Дискриминант

Можно остановиться на дискриминанте, ибо он здесь хороший: при условии что a≠0 получаем пару корней. Потом добавляем условия:

$> 1\\t=\frac{2(a+1)-4a}{2} > 1$

Получаем a∉ R

Видимо, в задаче действительно такой ответ.

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением. У вас дано следующее уравнение:

9^x - 2(a+1)3^x - 3a^2 + 2a + 1 = 0

Чтобы найти значения параметра а, при которых уравнение имеет два разных положительных решения, мы должны рассмотреть дискриминант этого уравнения. В данном случае, уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно неизвестной x.

Выражение 9^x - 2(a+1)3^x - 3a^2 + 2a + 1 можно рассматривать как квадратное уравнение относительно 3^x. Если мы заменим 3^x на другую переменную, например, y = 3^x, уравнение примет следующий вид:

y^2 - 2(a+1)y - 3a^2 + 2a + 1 = 0

Теперь мы можем рассмотреть это квадратное уравнение относительно y. Чтобы у этого уравнения было два разных положительных решения, дискриминант (D) должен быть положительным.

Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. В данном случае, у нас a = 1, b = -2(a+1), c = -3a^2 + 2a + 1.

Подставим значения коэффициентов в формулу дискриминанта:

D = (-2(a+1))^2 - 4(1)(-3a^2 + 2a + 1) = 4(a+1)^2 + 12a^2 - 8a - 4 = 4a^2 + 8a + 4 + 12a^2 - 8a - 4 = 16a^2

Теперь мы видим, что дискриминант D равен 16a^2.

Чтобы уравнение имело два разных положительных решения, дискриминант D должен быть положительным. То есть:

16a^2 > 0

Это неравенство выполняется для всех ненулевых значений параметра a. Таким образом, уравнение будет иметь два разных положительных решения для любых ненулевых значений параметра a.