Question

2. Найдите вторую производную функции: a)y=e^x•lnx b) y=5x⁵+3x³​

Answer 1

Объяснение:

а)

$\displaystyle\\y=e^x*lnx\\\\y'=(e^x*lnx)'=(e^x)'*lnx+e^x*(lnx)'=e^x*lnx+\frac{e^x}{x} .\\\\y'=(e^x*lnx+\frac{e^x}{x})'=(e^x*lnx)'+(\frac{e^x}{x} )'=e^x*lnx+\frac{e^x}{x} +\frac{(e^x)'*x-e^x*x'}{x^2} =\\\\=e^x*lnx+\frac{e^x}{x} +\frac{e^x}{x} -\frac{e^x}{x^2} =e^x*lnx+\frac{2e^x}{x} -\frac{e^x}{x^2}.$

b)

$y=5x^5+3x^3\\\\y'=(5x^5+3x^3)'=5*5*x^4+3*3*x^2=25x^4+9x^2.\\\\y'=(25x^4+9x^2)'=25*4*x^3+9*2*x=100x^3+18x.$

Answer 2

a) Для нахождения второй производной функции y = e^x * ln(x), мы сначала найдем первую производную и затем возьмем ее производную.

y = e^x * ln(x)

Для нахождения первой производной применим правило произведения:

y' = (e^x * ln(x))' = (e^x)' * ln(x) + e^x * (ln(x))'

Первая производная e^x равна самой функции, поэтому получаем:

y' = e^x * ln(x) + e^x * (ln(x))'

Теперь найдем производную ln(x):

(ln(x))' = 1/x

Подставим этот результат в выражение для первой производной:

y' = e^x * ln(x) + e^x * (1/x)

Сокращаем единицы:

y' = e^x * ln(x) + e^x/x

y' = e^x * (ln(x) + 1/x)

Теперь найдем вторую производную, снова применив правило произведения:

y'' = (e^x * (ln(x) + 1/x))' = (e^x)' * (ln(x) + 1/x) + e^x * (ln(x) + 1/x)'

Первая производная e^x равна самой функции, а производная 1/x равна -1/x^2:

y'' = e^x * (ln(x) + 1/x) + e^x * (-1/x^2)

y'' = e^x * (ln(x) + 1/x - 1/x^2)

Таким образом, вторая производная функции y = e^x * ln(x) равна y'' = e^x * (ln(x) + 1/x - 1/x^2).

b) Для функции y = 5x^5 + 3x^3, найдем вторую производную, применив правила дифференцирования:

y = 5x^5 + 3x^3

Для нахождения первой производной применим правило степенной функции:

y' = 5 * 5x^(5-1) + 3 * 3x^(3-1)

y' = 25x^4 + 9x^2

Теперь найдем вторую производную, снова применив правило степенной функции:

y'' = 25 * 4x^(4-1) + 9 * 2x^(2-1)

y'' = 100x^3 + 18x

Таким образом, вторая производная функции y = 5x^5 + 3x^3 равна y'' = 100x^3 + 18x.