Question

Розв'яжіть рівняння (x-1)⁴-3(x-1)²-4=0​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Для розв'язання даного рівняння позначимо (x-1)² як змінну t. Отримаємо:

t = (x-1)²

Тоді рівняння стає:

t² - 3t - 4 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння для t.

Факторизуємо його:

(t - 4)(t + 1) = 0

Таким чином, ми маємо дві можливі значення для t:

t - 4 = 0 або t + 1 = 0

Якщо розв'язати ці рівняння, отримаємо:

t₁ = 4 або t₂ = -1

Повертаючись до позначення t, маємо:

(x-1)² = 4 або (x-1)² = -1

Далі вирішуємо кожне з цих рівнянь:

(x-1)² = 4:

x-1 = ±√4

x-1 = ±2

Отримуємо два розв'язки:

x₁ = 1 + 2 = 3

x₂ = 1 - 2 = -1

(x-1)² = -1:

Це рівняння не має розв'язків, оскільки квадрат невід'ємного числа не може дорівнювати від'ємному числу.

Таким чином, розв'язками початкового рівняння є x = 3 та x = -1.

Answer 2

Для розв'язання рівняння (x-1)⁴ - 3(x-1)² - 4 = 0, введемо заміну y = (x-1)². Отримаємо:

y² - 3y - 4 = 0.

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Застосуємо формулу дискримінанту D = b² - 4ac, де a = 1, b = -3, c = -4:

D = (-3)² - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25.

Дискримінант D дорівнює 25, що є позитивним числом. Отже, у нас є два розв'язки для y:

y₁ = (-b + √D) / (2a) = (3 + 5) / 2 = 8/2 = 4,
y₂ = (-b - √D) / (2a) = (3 - 5) / 2 = -2/2 = -1.

Повернемося до заміни: y = (x-1)².

Тоді для y₁: (x-1)² = 4,
та для y₂: (x-1)² = -1.

Для y₁ можна взяти два випадки:
1) x-1 = 2: x = 3,
2) x-1 = -2: x = -1.

Для y₂ від'ємного значення не існує розв'язку.

Отже, розв'язками рівняння (x-1)⁴ - 3(x-1)² - 4 = 0 є x = 3 та x = -1.

Answer 3

Щоб розв'язати дане рівняння, спробуємо виконати заміну змінної. Позначимо $y = (x-1)^2$. Тоді рівняння стає:

$y^2 - 3y - 4 = 0$.

Розв'яжемо це квадратне рівняння. Застосуємо квадратну формулу:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$,

де $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$.

Підставимо значення:

$y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}$.

Спростимо вираз:

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}$.

$y = \frac{3 \pm 5}{2}$.

Таким чином, отримуємо два значення для $y$:

1. $y_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
2. $y_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$.

Тепер підставимо заміну $y = (x-1)^2$ назад:

1. $x - 1 = \sqrt{4}$ або $x - 1 = -\sqrt{4}$.

   Для першого випадку, $\sqrt{4} = 2$: $x - 1 = 2$. $x = 2 + 1$. $x = 3$.

   Для другого випадку, $-\sqrt{4} = -2$: $x - 1 = -2$. $x = -2 + 1$. $x = -1$.

   Отже, отримуємо два розв'язки: $x = 3$ і $x = -1$.

2. $x - 1 = \sqrt{-1}$ або $x - 1 = -\sqrt{-1}$.

   Оскільки від'ємний квадратний корінь з від'ємного числа не має реальних значень, то в цьому випадку немає розв'язків.

Отже, розв'язками заданого рівняння є $x = 3$ і $x = -1$.