Question

Айдите сумму корней уравнения sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 принадлежащих отрезку [0градусов;180градусов]

Answer 1

(sin x + sin 4x) + (sin 2x + sin 3x) = 0

2sin(5x/2)cos(3x/2) + 2sin(5x/2)cos(x/2)=0

2sin(5x/2)(cos(3x/2)+cos(x/2))=0

4sin(5x/2)cos 2x cos x =0 

$sin\frac{5x}{2}=0$ или cos 2x=0 или cos x =0

$\frac{5x}{2}=\pi k$ или $2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ или $x=\frac{\pi}{2}+\pi m$

$x=\frac{2\pi k}{5}$ или $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$ или  $x=\frac{\pi}{2}+\pi m$

На отрезке [0; 180] получим следующие решения уравнения:

$0, \frac{2\pi}{5},\ \frac{4\pi}{5},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{\pi}{2}.$

 Сумма корней: 

$0 + \frac{2\pi}{5}+ \frac{4\pi}{5}+\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{6\pi}{5}+\frac{3\pi}{2}=\frac{27\pi}{10}=2,7\pi$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для нахождения суммы корней уравнения sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + sin(4x) = 0 на отрезке [0 градусов; 180 градусов] нам потребуется решить это уравнение численно. Мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции, чтобы найти корни уравнения на данном интервале.

В данном случае, чтобы использовать численные методы, нам понадобится задать начальные значения для поиска корней. Поскольку уравнение содержит синусы, мы можем предположить, что корни будут располагаться около значений, при которых синусы равны нулю. Таким образом, мы можем выбрать следующие начальные значения: 0, 180, 90, 270 градусов.

Затем мы можем использовать выбранный численный метод для нахождения корней на отрезке [0 градусов; 180 градусов]. Давайте реализуем это в коде, используя язык Python:

pythonCopy code
import math
from scipy.optimize import fsolve

# Функция, описывающая уравнение
def equation(x):
    return math.sin(x) + math.sin(2*x) + math.sin(3*x) + math.sin(4*x)

# Начальные значения для поиска корней
initial_guesses = [0, 180, 90, 270]

# Поиск корней уравнения
solutions = []
for guess in initial_guesses:
    root, = fsolve(equation, guess)
    if 0 <= root <= 180:
        solutions.append(root)

# Сумма корней
sum_of_roots = sum(solutions)

# Вывод результата
print("Сумма корней уравнения на отрезке [0 градусов; 180 градусов]:", sum_of_roots)

После запуска этого кода вы получите сумму корней уравнения на отрезке [0 градусов; 180 градусов]. Обратите внимание, что мы используем функцию fsolve из библиотеки scipy.optimize для численного решения уравнения.