Question

Разложите на линейные множители многочлен: 2) x^4 - 13x^2 + 36; 3) x^3 - 3x^2 - 4x + 12​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

2) x^4 - 13x^2 + 36 = x⁴ - 4x² - 9x² + 36 = x²(x² - 4) - 9(x² - 4) =

= (x² - 4)(x² - 9) = (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)

3) x^3 - 3x^2 - 4x + 12​ = x²(x - 3) - 4(x - 3) =

= (x - 3)(x² - 4) = (x - 3)(x - 2)(x + 2)

Answer 2

Чтобы разложить данные многочлены на линейные множители, мы должны найти его корни. Для этого воспользуемся методом подстановки и применим теорему Безу.

1. Многочлен: x^4 - 13x^2 + 36

Давайте проверим, есть ли у данного многочлена рациональные корни, используя рациональный корневой тест. Рациональные корни будут делителями свободного члена (36) и иметеля (1) перед старшей степенью (x^4).

Делители числа 36: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36

Применяя эти значения в качестве подстановок для x, мы видим, что многочлен имеет рациональный корень x = 4:

(4)^4 - 13(4)^2 + 36 = 256 - 208 + 36 = 84

Таким образом, x - 4 является линейным множителем данного многочлена.

Чтобы найти остальные множители, разделим исходный многочлен на (x - 4). Это можно сделать с помощью деления с остатком или синтетического деления.

Синтетическое деление выглядит следующим образом:

luaCopy code
    4 | 1   0   -13   0   36
       |       4   16   12
       --------------
       1   4    3   12   48

Таким образом, мы получаем частное 1x^3 + 4x^2 + 3x + 12 и остаток 48.

Теперь рассмотрим полученное частное 1x^3 + 4x^2 + 3x + 12 и попробуем найти его корни, повторив вышеописанный процесс.

Однако, в данном случае, у многочлена нет рациональных корней. Это означает, что исходный многочлен нельзя разложить на линейные множители над множеством рациональных чисел.

2. Многочлен: x^3 - 3x^2 - 4x + 12

Для начала применим рациональный корневой тест, чтобы найти рациональные корни многочлена. Потенциальные рациональные корни будут делителями свободного члена (12) и делителями коэффициента перед старшей степенью (1) или (−1).

Делители числа 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 Делители