Question

Найти производную функции f(x)=log5(sin2x)​Примечание:5 по основанию

Answer 1

Ответ:

$f(x)=log_5(sin2x)\ \ ,\ \ \ \ \ (log_{a}u)'=\dfrac{1}{u\cdot lna}\cdot u'\ ,\ u=sin2x\\\\\\f'(x)=\dfrac{1}{sin2x\cdot ln5}\cdot 2\, cos2x=\dfrac{2}{ln5}\cdot ctg2x$

Answer 2

Чтобы найти производную функции f(x) = log₅(sin²x), мы можем использовать правило дифференцирования для функции композиции.

Пусть u(x) = sin²x и v(x) = log₅(u). Тогда функция f(x) может быть записана как f(x) = v(x).

Чтобы найти производную f'(x), мы можем использовать правило дифференцирования для функций композиции, которое гласит: (v(u(x)))' = v'(u(x)) * u'(x).

Найдем производные u'(x) и v'(u(x)):

u'(x) = d/dx (sin²x) = 2sinx * cosx (производная sin²x с помощью цепного правила)

v'(u) = d/du (log₅u) = 1/(u * ln(5)) (производная log₅u)

Теперь мы можем найти производную f'(x) путем подстановки найденных производных:

f'(x) = v'(u(x)) * u'(x) = (1/(u * ln(5))) * (2sinx * cosx) = (2sinx * cosx) / (sin²x * ln(5))

Итак, производная функции f(x) = log₅(sin²x) равна (2sinx * cosx) / (sin²x * ln(5)).