Question

Найти вектор d, если d ⊥ a , d ⊥ b и |d|=1 a=(-4;2;2) b=(0;3;-3)

Answer 1

$\vec{a}=(-4;2;2)\ \ ,\ \ \vec{b}=(0;3;-3)\ \ ,\\\\\vec{a}\perp \vec{d}\ \ ,\ \ \vec{b}\perp \vec{d}\ \ \Rightarrow \ \ \\\\\vec{d}=\lambda \cdot [\, \vec{a}\times \vec{b}\, ]=\lambda \cdot \left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-4&2&2\\0&3&-3\end{array}\right|=\lambda \cdot (-12\vec{j}-12\vec{k})=-12\lambda \vec{j}-12\lambda \vec{k}\\\\\\|\vec{d}|=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \sqrt{(12\lambda )^2+(12\lambda)^2}=1\ \ ,\ \ \ \sqrt{2\cdot 144\lambda ^2}=1\ \ ,\ \ 12\, |\lambda |\cdot \sqrt2=1\ ,$

$|\lambda |=\dfrac{1}{12\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{24}\ \ \ \to \ \ \ \lambda =\pm \dfrac{\sqrt2}{24}\\\\\\Otvet:\ \ \vec{d}=\Big(\, 0;-\dfrac{\sqrt2}{2}\, ;\, -\dfrac{\sqrt2}{2}\, \Big)\ \ \ \ ili\ \ \ \ \vec{d}=\Big(\, 0\, ;\, \dfrac{\sqrt2}{2}\, ;\, \dfrac{\sqrt2}{2}\, \Big)\ .$

Answer 2

пусть координаты искомого вектора равны х; у; z.

х²+у²+ z²=1

скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

-4х+2у+2z=0

3y+3z=0

z=-у подставим в -4х+2у+2z=0 или -2х+у-у=0, откуда х=0

х²+у²+ z²=1

0²+2у²=1

у=±√2/2

Значит, искомый  вектор (0; √2/2; -√2/2) или  (0; -√2/2;√2/2)

Answer 3

Для нахождения вектора d, который ортогонален векторам a и b и имеет длину |d| = 1, можно воспользоваться проекцией вектора d на плоскость, ортогональную обоим векторам a и b.

Шаг 1: Найдите векторное произведение векторов a и b. Это даст вектор, перпендикулярный обоим a и b. Обозначим этот вектор как c: c = a x b

Шаг 2: Нормализуйте вектор c, разделив его на его длину: d = c / |c|

Вот как это выглядит в конкретных числах:

Шаг 1: c = a x b = (-4; 2; 2) x (0; 3; -3)

Вычислим векторное произведение: c = ((2 * -(-3)) - (2 * 3); (-4 * -(-3)) - (2 * 0); (-4 * 3) - (2 * 0)) = (-12 - 6; 12 - 0; -12 - 0) = (-18; 12; -12)

Шаг 2: Вычислим длину вектора c: |c| = sqrt((-18)^2 + 12^2 + (-12)^2) = sqrt(324 + 144 + 144) = sqrt(612) = 24.74

Теперь нормализуем вектор c: d = c / |c| = (-18 / 24.74; 12 / 24.74; -12 / 24.74) ≈ (-0.727; 0.485; -0.485)

Таким образом, вектор d, ортогональный векторам a и b и имеющий длину |d| = 1, приближенно равен (-0.727; 0.485; -0.485).