Question

Решите уравнение | sin x |=sinx +2cosx

Answer 1

1)если sin x>=0, то Isin xI= sin x, тогда имеем  sin x =  sin x + 2 cos x 

                                                                        2 cos x =  0 

                                                                           cos x = 0

                                                                            x= pi/2 +pi*k

Учитывая, что   sin x>=0 получаем  x= pi/2 +2*pi*k .

2)  если sin x<0, то Isin xI=- sin x, тогда имеем  -sin x =  sin x + 2 cos x

                                                                          2 sin x+2 cos x =0 

                                                                           sin x+ cos x =0   I :cos x

                                                                            tg x= -1

                                                                            x= -  pi/4 +pi*n 

  Учитывая, что   sin x<0 получаем  x= -pi/4 +2*pi*n  .

Ответ:  x= pi/2 +2*pi*k ,  x= -pi/4 +2*pi*n  , k,n- целые числа. 

                                                                            

Answer 2

Для начала давайте разберемся с модулем |sin(x)|. Модуль от синуса всегда будет положительным числом, поэтому уравнение |sin(x)| = sin(x) + 2cos(x) будет иметь два возможных решения:

1. sin(x) = sin(x) + 2cos(x) В данном случае уравнение невозможно, так как оно приводит к противоречию. Значит, это уравнение не имеет решений.

2. sin(x) = -(sin(x) + 2cos(x)) Перенесем все члены в одну сторону: 2sin(x) + 2cos(x) = 0 Разделим обе части на 2: sin(x) + cos(x) = 0

   Теперь мы имеем уравнение sin(x) + cos(x) = 0.

   Давайте решим это уравнение:

   sin(x) + cos(x) = 0 sin(x) = -cos(x)

   Возведем обе части в квадрат: sin^2(x) = cos^2(x)

   Используем тригонометрическую тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1: 1 - cos^2(x) = cos^2(x)

   Перенесем cos^2(x) на одну сторону: 1 = 2cos^2(x)

   Разделим обе части на 2: 1/2 = cos^2(x)

   Извлечем квадратный корень: cos(x) = ±√(1/2)

   Так как cos(x) равен √(1/2) при x = π/4 и -√(1/2) при x = 5π/4, получаем два решения:

   x = π/4 + 2πn (где n - целое число) x = 5π/4 + 2πn (где n - целое число)

   Итак, уравнение |sin(x)| = sin(x) + 2cos(x) имеет решения x = π/4 + 2πn и x = 5π/4 + 2πn, где n - целое число.