Question

Корни уравнения х2 + 20х + а = 0 относятся как 7 : 3. Найдите значения а и корни уравнения.

Answer 1

Имеем квадратное уравнение типа: $ax^2+bx+c=0.$

Корни:
$x_1= 7x; \\ x_2= 3x.$

Так как уравнение приведенное ($a=1$), можем использовать теорему Виета.
Согласно ей:
$x_1*x_2=c; \\ x_1+x_2=-b.$

В данном случае:
$x_1*x_2= a; \\ x_1+x_2= -20.$

Перепишем эти уравнение с учётом условий к корням и объединим их в систему (так как должны соблюдатся оба условия):
$\left \{ {{7x*3x=a;} \atop {7x+3x=-20.}} \right.$

Со второго уравнения найдём x:
$10x= -20; \\ x= \frac{-20}{10}=-2.$

Теперь можем подставить это значение в первое уравнение и найти a или сначала найти корни, а потом по теореме Виета найти a.
Найдем корни:
Так как нам известно что наши корни относятся как 7:3, то:
$x_1= 7x= 7* (-2)= -14; \\ x_2= 3x= 3*(-2)= -6.$

Подставим эти значение в теорему Виета, чтобы найти a:
$x_1*x_2= a; \\ -14* (-6)= 84.$

Проверим наши результаты.
Получили уравнение:
$x^2+20x+84=0.$
$x_1= -14; \\ x_2= -6.$

По теореме Виета:
$-14*(-6)= 84; \\ -14+(-6)= -20.$

Либо проверяем через дискриминант:
$D= b^2- 4ac= 20^2-4*1* 84= 64= 8^2; \\ x_1= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a}= \frac{-20-8}{2*1}= -14; \\ x_2= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{-20+8}{2*1}= -6.$

Это развёрнутый ответ для тебя, чтобы понял, в задании пиши всё коротко. Проверять не обязательно.