Question

Доказать тождественную истинность следующей формулы: x& y → z → (x → (y→ z))

Answer 1

Докажем ( X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).

1. Пусть, сначала, а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z, тогда

или 1) а ∈ X ∩ Y ⇒ а ∈ X и а ∈ Y ⇒ а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z ⇒

⇒ а ∈ (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z )

или 2) а ∈ Z ⇒ а ∈ Z ∪ X = X ∪ Z и а ∈ Z ∪ Y = Y ∪ Z ⇒

⇒ а ∈ (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z )

Тогда ( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).

2. Пусть, теперь, а ∈ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ), тогда а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z.

Если а ∈ Z ⇒ а ∈ Z ∪ ( X ∩ Y ) = ( X ∩ Y ) ∪ Z.

Если а ∉ Z, то а ∈ X и а ∈ Y , в противном случае а ∉ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).

Значит, а ∈ X и а ∈ Y ⇒ а ∈ X ∩ Y ⇒ а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z

Тогда (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z.

Из включений

( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z )

(X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z

Answer 2

Чтобы доказать тождественную истинность данной формулы, мы можем использовать таблицу истинности. В таблице истинности перечисляются все возможные комбинации значений переменных x, y и z, а затем вычисляется результат выражения x & y → z → (x → (y → z)) для каждой комбинации значений.

x | y | z | x & y | x & y → z | y → z | x → (y → z)

0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1

Как видно из таблицы, выражение x & y → z → (x → (y → z)) равно 1 для всех возможных комбинаций значений переменных x, y и z. Это означает, что данная формула является тождественно истинной, то есть она верна для любых значений переменных.