Question

Помогите! 4^cosx+4^-cosx=5\2 [-3П ; -3П\2]

Answer 1

$4^{cosx}+4^{-cosx}=5/2\\\\4^{cosx}+ \frac{1}{4^{cosx}}=5/2\\\\t=4^{cosx}\\\\t+ \frac{1}{t}= \frac{5}{2}|*2t\\\\2t^2-5t+2=0\\D=(-5)^2-4*2*2=25-16=9=3^2\\t_1=(5+3)/4=2\\t_2=(5-3)/4=1/2$

$4^{cosx}=2\\2^{2cosx}=2^1\\2cosx=1\\cosx=1/2\\x_1=б \pi /3+2 \pi n, n\in Z\\\\4^{cosx}=1/2\\2^{2cosx}=2^{-1}\\2cosx=-1\\cosx=-1/2\\x_2=б2 \pi /3+2 \pi n, n\in Z$

[-3π;-3π/2]
x₁=-3π+π/3=(-9π+π)/3=-8π/3
x₂=-2π-π/3=(-6π-π)/3=-7π/3
x₃=-2π+π/3=(-6π+π)/3=-5π/3

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать замену переменной. Обозначим $u = 4^{\cos(x)}$. Тогда уравнение примет вид:

$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части уравнения на $u$, чтобы избавиться от знаменателя:

$u^2 + 1 = \frac{5}{2}u$

Теперь приведем это уравнение к квадратному виду:

$u^2 - \frac{5}{2}u + 1 = 0$

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена или путем применения формулы дискриминанта. В обоих случаях получится два решения для $u$:

$u_1 = \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{7}}{4}$ $u_2 = \frac{5}{4} - \frac{\sqrt{7}}{4}$

Теперь подставим обратно $u = 4^{\cos(x)}$ и решим уравнение для $x$:

$4^{\cos(x)} = u_1$ $4^{\cos(x)} = u_2$

Для первого случая ($u_1$):

$\cos(x) = \log_4(u_1)$ $\cos(x) = \log_4\left(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{7}}{4}\right)$

Решите это уравнение для $\cos(x)$ и найдите все значения $x$ в заданном интервале $[-3\pi, -\frac{3\pi}{2}]$.

Аналогичным образом решите второе уравнение для $u_2$ и найдите соответствующие значения $x$.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном случае вам может потребоваться использовать численные методы для нахождения точных значений угла $\cos(x)$.