Question

Ришить уравнение y^2-xy+3x-y-6 =0

Answer 1

y²-xy+3x-y-6=0

y² - (x+1)y + 3x-6=0

D=(х+1²-4·1·(3х-6)=x²+2x+1-12x+24=x²-10x+25=(x-5)²

y₁=(x+1-x+5)/2=6/2= 3;

y₂=(x+1+x-5)/2=(2х-4)/2= x-2

1) Подставим у₁=3;  в данное уравнение и найдем х:

3²-3·x+3x-3-6=0

0·х= 0 при любом х₁

2) Подставим у₂=х-2;   в данное уравнение и найдем х:

(х-2)²-х·(х-2)+3x-(х-2)-6=0

х²-4х+4-х²+4х+3х-х+2-6=0

2х=0

х₂=0 => y₂=-2

Получаем 2 ответа:

{x - любое число; 3};  

{0;  -2}

Answer 2

Для решения данного уравнения нам понадобится применить метод завершения квадратов.

Данное уравнение можно переписать в виде:

y^2 - xy + 3x - y - 6 = 0

Перегруппируем его:

y^2 - (x+1)y + (3x-6) = 0

Теперь мы видим квадратное уравнение относительно переменной y. Чтобы завершить квадрат, нам нужно добавить и вычесть половину квадратного коэффициента перед y:

y^2 - (x+1)y + (3x-6) + (1/4)(x+1)^2 - (1/4)(x+1)^2 = 0

Теперь выражение в скобках перед вторым слагаемым является полным квадратом:

(y - (x+1)/2)^2 + (3x-6) + (1/4)(x+1)^2 - (1/4)(x+1)^2 = 0

(y - (x+1)/2)^2 + (3x-6) = (1/4)(x+1)^2

Теперь мы свели квадратное уравнение к более простому виду. Давайте продолжим упрощение.

Распишем квадрат:

(y - (x+1)/2)^2 = (1/4)(x+1)^2 - (3x-6)

(y - (x+1)/2)^2 = (1/4)(x^2 + 2x + 1) - (3x-6)

(y - (x+1)/2)^2 = (1/4)x^2 + (1/2)x + 1/4 - 3x + 6

(y - (x+1)/2)^2 = (1/4)x^2 + (1/2)x - 3x + (1/4) + 6

(y - (x+1)/2)^2 = (1/4)x^2 - (5/2)x + (25/4)

Теперь мы можем решить квадратное уравнение. Оно имеет вид:

(z - p)^2 = q,

где z = y - (x+1)/2, p = 5/4 и q = 25/4.

Решая это уравнение, мы найдем значения z. После этого можно восстановить y:

y - (x+1)/2 = ±sqrt((1/4)x^2 - (5/2)x + (25/4))

y = (x+1)/2 ± sqrt((1/4)x^2 - (5/2)x + (25/4))

Таким образом, решением исходного уравнения являются все пары значений (x, y), где y равно выражению ((x+1)/2) ± sqrt((1/4)x^2 - (5/2)x + (25/4)).