Question

Спростити log2(3)*log3(4)*log4(5)*log5(6)*log6(7)*log7(8)

Answer 1

Использованы свойства логарифмов и формула перехода к новому основанию

Answer 2

нужно заметить что a^log(c) b = c^log(a) b отсюда можно вывести, что

log(a) b * log(c) d = log(c) b * log(a) d

применяем эту формулу справа налево и двигаем восьмерку влево и постепенно получаем

log2(3)*log3(4)*log4(5)*log5(6)*log6(7)*log7(8) =

log2(3)*log3(4)*log4(5)*log5(6)*log6(8)*log7(7) =log2(3)*log3(4)*log4(5)*log5(8)*log6(6)*log7(7) =

log2(3)*log3(4)*log4(8)*log5(6)*log6(6)*log7(7) =log2(3)*log3(8)*log4(4)*log5(5)*log6(6)*log7(7) = log2(8)*log3(3)*log4(4)*log5(5)*log6(6)*log7(7) = (правые 5 равны 1) = log(2) 2^3 = 3

Answer 3

Для спрощення цього виразу ми можемо використовувати властивості логарифмів.

1. За властивістю логарифма logₐ(b) = logₓ(b)/logₓ(a), де x - базисний чисельник, можна записати вираз як:

   log₂(3) = logₓ(3)/logₓ(2)

   log₃(4) = logₓ(4)/logₓ(3)

   log₄(5) = logₓ(5)/logₓ(4)

   log₅(6) = logₓ(6)/logₓ(5)

   log₆(7) = logₓ(7)/logₓ(6)

   log₇(8) = logₓ(8)/logₓ(7)

2. Вираз після заміни виглядатиме наступним чином:

   logₓ(3)/logₓ(2) * logₓ(4)/logₓ(3) * logₓ(5)/logₓ(4) * logₓ(6)/logₓ(5) * logₓ(7)/logₓ(6) * logₓ(8)/logₓ(7)

3. Помітимо, що деякі дроби взаємно скорочуються:

   logₓ(3)/logₓ(3) = 1

   logₓ(4)/logₓ(4) = 1

   logₓ(5)/logₓ(5) = 1

   logₓ(6)/logₓ(6) = 1

   logₓ(7)/logₓ(7) = 1

4. Залишився лише дріб:

   logₓ(8)/logₓ(2)

5. За властивістю логарифма logₐ(b) = logₓ(b)/logₓ(a):

   logₓ(8)/logₓ(2) = log₂(8) = 3

Таким чином, спрощений вираз log₂(3)*log₃(4)*log₄(5)*log₅(6)*log₆(7)*log₇(8) дорівнює 3.