Question

Составьте уравнение горизонтальной ассимптоты графика последовательности yn= 1 + n/2n+1

Answer 1

Горизонтальная асимтота суть предел.

Найдем предел

$1 + \frac{x}{2x + 1} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x} }$

пследнее выражение, очевидно, стремится к

$1 + \frac{1}{2} =1.5$

Итого, горизонтальная асимптота:

у=1.5

Answer 2

Уравнение горизонтальной асимптоты графика последовательности может быть определено следующим образом:

Если последовательность имеет горизонтальную асимптоту, то это означает, что значения последовательности стремятся к постоянному пределу при n стремящемся к бесконечности.

Для данной последовательности y_n = 1 + \frac{n}{2n + 1}, мы можем выразить её в виде рациональной функции:

y_n = \frac{2n + 1}{2n + 1} + \frac{n}{2n + 1} = \frac{3n + 1}{2n + 1}

Теперь, чтобы определить горизонтальную асимптоту, мы рассматриваем предел этой функции при n стремящемся к бесконечности:

\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{2n + 1}

Чтобы вычислить этот предел, делим числитель и знаменатель на наибольшую степень n:

\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(3 + \frac{1}{n})}{n(2 + \frac{1}{n})}

При n, стремящемся к бесконечности, выражения \frac{1}{n} сходятся к нулю, поэтому:

\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{2n + 1} = \frac{3}{2}

Таким образом, уравнение горизонтальной асимптоты графика последовательности y_n = 1 + \frac{n}{2n + 1} равно y = \frac{3}{2}.