Question

Вычислите: arccos(sin3)​

Answer 1

Ответ:

arccos(sin3)​=3-π/2

Объяснение:

Воспользуемся формулами приведения, но с условием, чтобы аргумент попал в область значений функции arccos(х). х∈[0;π]

sin3=cos(π/2-3)

cos(π/2-3)=cos(3-π/2), т.к. функция cosх - чётная, а нам нужен аргумент, который принадлежит  отрезку [0;π] ;

3-π/2 лежит в первой четверти, т.е. входит в область значений [0;π]

Тогда arccos(sin3)​=arccos(cos(3-π/2))​=3-π/2

Можно и другим способом:

arccos(sin3)+arcsin(sin3)=π/2

arccos(sin3)=π/2-arcsin(sin3)

Тут угол в 3 радианы лежит во второй четверти, а нужен угол из отрезка[-π/2;π/2]

Воспользуемся формулами приведения для  sin3:

sin3=sin(π-3)

arccos(sin3)=π/2-arcsin(sin(π-3))

arccos(sin3)=π/2-(π-3)=3-π/2

Answer 2

Для вычисления arccos(sin(3)) нам понадобится использовать тригонометрическую формулу двойного угла, которая гласит:

cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1

Мы знаем, что sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1, поэтому sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ).

Мы также знаем, что sin(3) = sin(2θ + θ) = sin(2θ)cos(θ) + cos(2θ)sin(θ).

Давайте рассмотрим sin(2θ):

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Теперь мы можем записать sin(3) в терминах sin(θ) и cos(θ):

sin(3) = 2sin(θ)cos^2(θ) + (2cos^2(θ) - 1)sin(θ)

Мы знаем, что sin(θ) = √(1 - cos^2(θ)), поэтому мы можем заменить sin(θ) в выражении выше:

sin(3) = 2√(1 - cos^2(θ))cos^2(θ) + (2cos^2(θ) - 1)√(1 - cos^2(θ))

Теперь давайте решим это уравнение относительно cos(θ):

sin(3) = 2√(1 - cos^2(θ))cos^2(θ) + (2cos^2(θ) - 1)√(1 - cos^2(θ))

Мы получаем квадратное уравнение относительно cos^2(θ). Решая его, мы найдем значения cos(θ), а затем сможем найти arccos(sin(3)) с помощью обратной функции cos(θ).

Однако, поскольку это сложное уравнение, не существует простого аналитического способа найти точное значение arccos(sin(3)). Но мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод деления пополам, для приближенного вычисления этого значения.

В общем виде, результат arccos(sin(3)) будет числом, которое лежит в интервале от 0 до π (или 0 до 180 градусов).