Question

Решите уравнение2sinxcosx+sinx-cosx=3

Answer 1

$2\sin x\cos x+\sin x-\cos x=3 \\ 2\sin x\cos x+\sin x-\cos x=3(\sin^2x+\cos^2x) \\ 3(\sin^2x+\cos^2x)-2\sin x\cos x-(\sin x-\cos x)=0 \\ 3((\sin x-\cos x)^2+2\sin x\cos x)-2\sin x\cos x-(\sin x-\cos x)=0$
Пусть  $\sin x-\cos x=t$, тогда $(\sin x-\cos x)^2=t^2$
$\sin^2x+\cos^2x-2\sin x \cos x=t^2 \\ 1-2\sin x\cos x=t^2 \\ 2\sin x\cos x=1-t^2$
Подставим
$3(t^2+1-t^2)-1+t^2-t=0 \\ t^2-t+2=0 \\ D=b^2-4ac=-7$
Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней

Ответ: нет решений.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение.

Уравнение: 2sin(x)cos(x) + sin(x) - cos(x) = 3

Давайте проведем некоторые алгебраические преобразования, чтобы упростить уравнение:

2sin(x)cos(x) + sin(x) - cos(x) - 3 = 0

Мы можем заметить, что у нас есть несколько слагаемых синуса и косинуса. Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для их упрощения.

Первое тождество: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Мы можем заменить 2sin(x)cos(x) на sin(2x):

sin(2x) + sin(x) - cos(x) - 3 = 0

Теперь мы можем привести подобные слагаемые:

sin(2x) + sin(x) - cos(x) - 3 = 0

Теперь мы можем использовать другое тригонометрическое тождество:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Мы можем заменить sin(2x) на 2sin(x)cos(x):

2sin(x)cos(x) + sin(x) - cos(x) - 3 = 0

Теперь у нас есть уравнение только с одним типом тригонометрических функций:

2sin(x)cos(x) + sin(x) - cos(x) - 3 = 0

Мы можем сгруппировать слагаемые:

(sin(x) - 1)(2cos(x) + 1) = 0

Теперь у нас есть произведение двух выражений, равное нулю. Это означает, что одно из них должно быть равно нулю:

sin(x) - 1 = 0 или 2cos(x) + 1 = 0

Решим первое уравнение:

sin(x) - 1 = 0

sin(x) = 1

Из таблицы значений синуса мы можем найти значения углов, при которых sin(x) равен 1. Это угол 90 градусов (или π/2 радиан).

Теперь решим второе уравнение:

2cos(x) + 1 = 0

2cos(x) = -1

cos(x) = -1/2

Из таблицы значений косинуса мы можем найти значения углов, при которых cos(x) равен -1/2. Это углы 120 градусов (или 2π/3 радиан) и 240 градусов (или 4π/3 радиан).

Таким образом, решения уравнения 2sin(x)cos(x) + sin(x) - cos(x) = 3 равны:

x = π