Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=(x^2+8)\ (x−1) на отрезке [−3; 0].

Answer 1

Значения на концах отрезка:
y(-3) = (9 + 8)/(-3-1) = -17/4 = -4,25
y(0) = (0 + 8)/(0 - 1) = -8/1 = -8
Точка разрыва x = 1 не входит в промежуток [-3; 0] и нас не интересует.
Экстремум
$y'= \frac{2x(x-1) - (x^2+8)*1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x-x^2-8}{(x-1)^2} =\frac{x^2-2x-8}{(x-1)^2} = 0$
x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) = 0
x1 = -2; y(-2)= (4 + 8)/(-2 - 1) = 12/(-3) = -4
x2 = 4 - не входит в промежуток [-3; 0]
Ответ: y(-2) = -4 - наибольшее, y(0) = -8 - наименьшее.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = (x^2 + 8)/(x - 1) на отрезке [-3; 0], нужно проанализировать значения функции на краях отрезка и на её экстремумах внутри этого интервала.

1. Найдём значения функции на краях отрезка:

   • При x = -3: y = (-3^2 + 8)/(-3 - 1) = (9 + 8)/(-4) = 17/(-4) = -4.25
   • При x = 0: y = (0^2 + 8)/(0 - 1) = (0 + 8)/(-1) = -8

2. Найдём значения функции на экстремумах внутри интервала [-3; 0]. Для этого найдём производную функции y по x и решим уравнение y' = 0: y = (x^2 + 8)/(x - 1) y' = [(x - 1)(2x) - (x^2 + 8)(1)]/(x - 1)^2 = (2x^2 - 2x - x^2 - 8)/(x - 1)^2 = (x^2 - 2x - 8)/(x - 1)^2 Чтобы решить уравнение (x^2 - 2x - 8)/(x - 1)^2 = 0, нужно найти значения x, при которых числитель равен нулю: x^2 - 2x - 8 = 0 (x - 4)(x + 2) = 0 x = 4 или x = -2

   Проверим значения функции на найденных экстремумах:

   • При x = 4: y = (4^2 + 8)/(4 - 1) = (16 + 8)/3 = 8
   • При x = -2: y = ((-2)^2 + 8)/(-2 - 1) = (4 + 8)/(-3) = 4

Таким образом, наибольшее значение функции y = (x^2 + 8)/(x - 1) на отрезке [-3; 0] равно 8, а наименьшее значение равно -8.25.