Question

Помогите решить cosx-sinx-2sinxcosx=1

Answer 1

cosx-sinx-2sinxcosx=1 ;
(cosx-sinx) +(cosx -sinx)² -2 =0 ;
 * * * замена t =cosx -sinx ||=√2cos(x+π/4)||⇒|t| ≤√2 * * *
t² +t -2 =0 ;
t₁= -2  не решение 
t₂ =1⇒ √2cos(x+π/4) =1⇔cos(x+π/4) =1/√2.
x+π/4 =± π/4 +2πk ,k∈Z.

ответ :  { - π/2+2πk ; 2πk ,k∈Z }.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение cos(x) - sin(x) - 2sin(x)cos(x) = 1.

Для удобства, обозначим sin(x) как s и cos(x) как c. Тогда уравнение может быть переписано в следующем виде:

c - s - 2sc = 1

Теперь объединим все члены, содержащие s:

-s - 2sc = 1 - c

Перенесем все члены на одну сторону:

2sc + s + c = c - 1

Факторизуем левую часть уравнения:

s(2c + 1) + c = c - 1

Разделим обе части уравнения на (2c + 1):

s + c/(2c + 1) = (c - 1)/(2c + 1)

Теперь заметим, что c - 1 = 1 - s^2 (используя тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1). Подставим это значение:

s + c/(2c + 1) = (1 - s^2)/(2c + 1)

Умножим обе части уравнения на (2c + 1):

s(2c + 1) + c = (1 - s^2)

Раскроем скобки:

2cs + s + c = 1 - s^2

Перенесем все члены на одну сторону:

2cs + s + c + s^2 - 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно s. Решим его, используя квадратное уравнение общего вида ax^2 + bx + c = 0:

s^2 + (2c + 1)s + (c - 1) = 0

Теперь можно применить формулу дискриминанта для нахождения решений. Дискриминант D для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется как D = b^2 - 4ac.

D = (2c + 1)^2 - 4(c - 1)

D = 4c^2 + 4c + 1 - 4c + 4

D = 4c^2 + 4

Теперь рассмотрим три возможных случая, исходя из значения дискриминанта D:

1. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных решения.
2. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет одно удвоенное решение.
3. Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет решений.

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. Если D > 0: Поскольку D = 4c^2 + 4 > 0,