Question

Докажите свойство диагоналей параллелограмма. Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Смотрите доказательство!

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм, AC ∩ BD = O

Доказать: AO = OC, BO = DO

Доказательство:

По определению параллелограммом называют четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны. Рассмотрим треугольник ΔABC и ΔADC.

Треугольник ΔABC = ΔADC по второму признаку равенства треугольников, так как сторона AC - общая, а угол ∠BCA = ∠CAD как внутренние накрест лежащие так как BC║AD по определению параллелограмма, а также угол ∠BAC = ∠ACD как внутренние накрест лежащие так как AB║CD по определению параллелограмма.

Так как треугольник ΔABC = ΔADC, то соответствующие элементы треугольников равны, тогда AB = CD, AD = BC. Рассмотрим треугольник ΔAOD и ΔBOC.

Треугольник ΔAOD = ΔBOC по второму признаку равенства треугольников, так как сторона AD = BC, а угол ∠BCA = ∠CAD,

∠BDA = ∠CBD как внутренние накрест лежащие так как BC║AD по определению параллелограмма.

Так как треугольник ΔAOD = ΔBOC, то соответствующие элементы треугольников равны, тогда AO = OC, BO = DO.

Answer 2

Для доказательства свойства диагоналей параллелограмма, нам понадобятся некоторые определения и теоремы из геометрии.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Свойство диагоналей параллелограмма состоит в том, что диагонали делятся пополам и взаимно перпендикулярны.

Для начала, обозначим параллелограмм ABCD, где AB и CD - параллельные стороны, а AC и BD - диагонали.

Чтобы доказать, что диагонали делятся пополам, рассмотрим треугольники ABC и CDA.

В параллелограмме AB || CD, поэтому угол BAC равен углу CDA (по свойству параллельных прямых и поперечной).

Угол BAC также равен углу ABC (внутренний угол параллелограмма), и угол CDA равен углу ACD (внутренний угол параллелограмма).

Итак, у нас есть следующие равенства углов: ∠BAC = ∠CDA (1) ∠ABC = ∠ACD (2)

Также, в параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD (3) и BC = AD (4).

Рассмотрим теперь треугольники ABD и CBD.

У нас есть следующие равенства углов: ∠ABD = ∠CBD (5) ∠BAD = ∠BCD (6)

Из угловых равенств (5) и (6) следует, что треугольники ABD и CBD подобны.

Так как треугольники подобны, соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому AB/BC = AD/CD (из подобия треугольников ABD и CBD).

Также, из равенства (3) AB = CD и из равенства (4) BC = AD, поэтому AB/BC = CD/AD.

Следовательно, мы получили, что AB/BC = CD/AD, что означает, что диагонали AC и BD делятся в одной и той же пропорции.

Так как AB/BC = CD/AD, то это означает, что точка пересечения диагоналей делит их пополам.

Для доказательства взаимной перпендикулярности диагоналей AC и BD, мы можем использовать свойство, что в парал