Question

дана функция y=x^3-3x^2+4. найдите: промежутки возрастания и убывания функций, точки экстремума; наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке{-1;4}

Answer 1

Y=x³-3x²+4
y`(x)=3x²-6x=3x(x-2)
y`(x)=0 при 3x(x-2)=0
                     +                    -                      +
          ______________0____________2____________
                              max                  min
x(max)=0 и x(min)=2 - точки экстремума
f(x) - убывает при х∈(0;2)
f(x) - возрастает при х∈(-∞;0)∨(2;+∞)
На отрезке [-1;4]  
f(-1)=(-1)³-3(-1)²+4=-1-3+4=0 - наименьшее
f(0)=0³-3*0²+4=4
f(2)=2³-3*2²+4=8-12+4=0 - наименьшее
f(4)=4³-3*4²+4=64-48+4=20 - наибольшее

Answer 2

Для данной функции y = x^3 - 3x^2 + 4, мы можем найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке {-1;4}.

1. Промежутки возрастания и убывания функции: Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать производную функции и найти ее корни.

Первая производная функции: y' = 3x^2 - 6x

Теперь найдем корни этого уравнения: 3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: x = 0 и x = 2.

Анализируя знаки производной на интервалах между и за пределами корней, мы можем определить промежутки возрастания и убывания:

• Бесконечность < x < 0: Функция убывает.
• 0 < x < 2: Функция возрастает.
• 2 < x < +Бесконечность: Функция убывает.

2. Точки экстремума: Точки экстремума находятся в тех точках, где производная функции равна нулю или не существует. Мы уже выяснили, что производная функции равна 3x^2 - 6x.

Производная равна нулю: 3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0

Корни уравнения: x = 0 и x = 2.

Теперь, чтобы определить, является ли каждая из этих точек экстремумами, мы должны проанализировать знаки производной в окрестностях этих точек.

• При x = 0: Функция имеет локальный максимум.
• При x = 2: Функция имеет локальный минимум.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке {-1;4}: Для определения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, мы можем вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках (корнях производной).

Вычисляем значения функции на концах отрезка: y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 + 3 + 4 = 6 y(4) = (4)^3 - 3(4)^2 + 4 = 64 - 48 + 4 = 20

Вычисляем значения