Question

Y=x^3-2x^2+x Исследуйте функцию и постройте её график y=x^3-2x^2+x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) область определения: х ∈ R. Следовательно, точек разрыва и асимптот у графика нет.

2) исследуем функцию на четность. Вместо х подставляем -х:

y(-x) = (-x)³ - 2(-x)² + (-x) = -x³ - 2x² - x = -(x³ + 2x² + x) ≠ f(x) ≠ -f(x).

Так как ни одно из равенств f(-x) = f(x) и f(-x) = -f(x) не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

     с осью ОХ: у = 0;   x³ - 2x² + x = 0;   x(x² - 2x + 1) = 0;   x(x - 1)² = 0 ⇒ x = 0 или x = 1                         Искомые точки: (0; 0), (1; 0).

    с осью ОУ: х = 0;   y(0) = 0³ - 2 · 0² + 0 = 0. Искомая точка - (0; 0).

4) Найдем точки экстремума и экстремумы функции. Для этого сначала найдем производную:

y' = (x³ - 2x² + x)' = (x³)' - (2x²)' + x' = 3x² - 4x + 1.

Ищем критические точки. Таких, что в них производная не существует, у нас нет. Значит, ищем точки, в которых производная равна 0. Решаем уравнение y' = 0:

3x² - 4x + 1 = 0

D = b² - 4ac = (-4)² - 4 · 3 · 1 = 16 - 12 = 4

$x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6} = 1\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}$.

Критические точки - x = 1, x = 1/3. Исследуем их.

При переходе через точку х = 1/3 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х = 1 - с минуса на плюс. Следовательно х = 1/3 - точка локального максимума, а х = 1 - точка локального минимума.

Ищем локальный минимум и локальный максимум функции. Для этого вместо х в первоначальную функцию подставляем х = 1/3 и х = 1

$y(1/3)=(\frac{1}{3})^3-2\cdot(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}=\frac{1}{27} -\frac{2}{9} +\frac{1}{3}=\frac{1-6+9}{27}=\frac{4}{27}$ - локальный минимум.

$y(1) = 1^3 - 2\cdot 1^2+1=1-2+1=0$ - локальный минимум.

График - во вложении.

Answer 2

Для исследования функции и построения ее графика y = x^3 - 2x^2 + x, мы можем рассмотреть следующие шаги:

1. Найдем производные функции, чтобы определить точки экстремума и инфлекции: Первая производная: y' = 3x^2 - 4x + 1 Вторая производная: y'' = 6x - 4

2. Найдем точки, где первая производная равна нулю, чтобы определить экстремумы функции: 3x^2 - 4x + 1 = 0 Решим это квадратное уравнение: (3x - 1)(x - 1) = 0 Получаем две точки: x = 1/3 и x = 1.

3. Проверим вторую производную в этих точках, чтобы определить характер экстремумов: Подставим x = 1/3 во вторую производную: y''(1/3) = 6(1/3) - 4 = -2 Подставим x = 1 во вторую производную: y''(1) = 6(1) - 4 = 2 Значение y''(1/3) отрицательное, поэтому x = 1/3 - точка локального максимума, а x = 1 - точка локального минимума.

4. Найдем точку перегиба, где вторая производная равна нулю: 6x - 4 = 0 Получаем x = 2/3.

5. Построим таблицу значений, чтобы увидеть поведение функции:

   x	y
   -1	0
   -0.5	1.125
   0	0
   0.5	-0.375
   1	0
   1.5	0.375
   2	0
   2.5	1.125
   3	0

6. Построим график функции y = x^3 - 2x^2 + x, используя полученную информацию:

   

   На графике видно, что функция имеет локальный максимум при x = 1/3, локальный минимум при x = 1, и точку перегиба при x = 2/3.