Question

найти все корни уравнения  cos2x=-√3/2 на отрезке от 0 до 3п/2(в квадратных скобках)

Answer 1

1) Решаем уравнение:

 

cos2x=-√3/2

2x=+-5п/6+2пк

x=+-5п/12+пk

 

2) Находим корни: x∈ [0; 3п/2] |⇒x∈ [0; 18п/12]

 

* x=5п/12+пk

k=0, x= 5п/12 (+)

k=1, x= 17п/12 (+)

 

* x= -5п/12+пk

k=1, x= 7п/12 (+)

k=2, x= 19п/12

 

Ответ: 5п/12, 7п/12, 17п/12.

 

Answer 2

По условию имеем:
cos(2x) = -√3/2
Так как cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2cos²(x) - 1, то можно записать:
2cos²(x) - 1 = -√3/2
2cos²(x) = 1 - (-√3/2) = 1 + √3/2 = (2 + √3)/2
cos²(x) = (2 + √3)/4
cos(x) = ± √((2 + √3)/4) = ± (√2 + √6)/4
Так как на отрезке [0, 3п/2] значение cos(x) неотрицательно, то решения уравнения имеются только при положительном значении cos(x):
cos(x) = (√2 + √6)/4
x = arccos((√2 + √6)/4)
x ≈ 0.255rad (в нашем случае в радианах, так как не указано, в каких единицах измерения остальные значения углов)
Также имеем:
cos(x) = - (√2 + √6)/4
Так как на отрезке [0, 3п/2] значение cos(x) отрицательно, то необходимо найти обратный косинус второго и третьего квадрантов:
x = п - arccos((√2 + √6)/4)
x ≈ 2.887rad
Таким образом, все корни уравнения cos(2x) = -√3/2 на отрезке [0, 3п/2] равны:
x ≈ 0.255rad и x ≈ 2.887rad.