Question

Помогите решить систему!!!!   Х^2 - ХУ + У^2 = 19 Х^4 + Х^2У^2 + У^4 = 931

Answer 1

Преобразуем второе уравнение выделев квадрат, оно приймит вид

x^4 +x^2y^2 +y +y^4 = (x^2 +y^2)^2  x^2y^2 =(x^2 +y^2  -xy)(x^2 +y^2 +xy)

 

x^2 -xy+y^2 =19

x^2+xy+ y^2 = 49

 

2x^2 +2y^2 =68

x^2 +y^2 =34

 

34 -xy =19

(x+y)^2 -2xy =34

 

xy= 15

(x+y)^2 -30=34

(x+y)^2 =64

 

xy = 15

x+y =8

x^2 -8x +15=0

x=3    x=5

y= 5    y=3

 

 

xy = 15

x+y = -8

x^2+8x+15=0

x= -5  x= -3

y = -3    y = -5

Ответ(3;5)   (5;3)   (-5; -3)  (-3;-5)

 

 

Answer 2

Перепишем первое уравнение в таком виде:
$$
x^2 + y^2 - xy = 19.
$$
Найдём квадрат выражения $x^2 + xy + y^2$:
$$
(x^2 + xy + y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 + 2xy(x^2 + y^2) + x^2 y^2.
$$
Подставим в это выражение правую часть второго уравнения:
$$
931 = (x^2 + y^2)^2 + 2xy(x^2 + y^2) + x^2y^2.
$$
Теперь заметим, что $(x^2 + y^2)^2 = (x^2 + xy + y^2)^2 - 4x^2y^2$. Подставим это в предыдущее выражение и приведём подобные слагаемые:
$$
931 = (x^2 + xy + y^2)^2 - 2x^2 y^2 + 2xy(x^2 + y^2) \\
931 = (x^2 + xy + y^2)^2 + 2xy(x^2 + y^2) - (xy)^2.
$$
Мы получили квадратное уравнение относительно $xy(x^2 + y^2)$. Решим его:
$$
(xy(x^2 + y^2))^2 + 2xy(x^2 + y^2) - 931 = 0.
$$
Дискриминант этого уравнения равен $3708$. Значит, получаем два решения:
$$
xy(x^2 + y^2) = -1 \pm \sqrt{929}.
$$
Теперь подставим эти значения в первое уравнение:
$$
x^2 + y^2 - (1 \pm \sqrt{929}) = 18 \pm \sqrt{929}.
$$
Таким образом, система имеет 4 решения:
$$
\left\{
\begin{aligned}
x^2 + y^2 - xy &= 19, \\
x^2 + y^2 &= 18 + \sqrt{929}, \\
xy(x^2 + y^2) &= -1 + \sqrt{929}
\end{aligned}
\right.
\qquad \text{и} \qquad
\left\{
\begin{aligned}
x^2 + y^2 - xy &= 19, \\
x^2 + y^2 &= 18 - \sqrt{929}, \\
xy(x^2 + y^2) &= -1 - \sqrt{929}.
\end{aligned}
\right.
$$