Question

Спростити вираз sin(45°+a) + cos(45°+a) / sin(45°+a) - cos(45°+a)​

Answer 1

Ответ:

sin(45°+α)+cos(45°+α)]/[sin(45°+α)-cos(45°+α)]=

=[sin(45°+α)+cos(45°+α)]²/[sin(45°+α)²-cos(45°+α)²]=

=[sin²(45°+α)+2sin(45°+α)cos(45°+α)+cos²(45°+α)]/[-cos(90°+2α)]=

=[1+sin(90°+2α)]/sin2α=(1+cos2α)/sin2α=

=2cos²α/2sinαcosα=cosα/sinα=tgα;

используемые формулы:

1.(a+b)/(a-b)=(a+b)²/(a-b)(a+b)=(a+b)²/(a²-b²);

2.(a+b)²=a²+2ab+b²;

3.sin²α+cos²α=1;

4.2sinαcosα=sin2α;

5.cos²α-sin²α=cos2α;

6.sin(90°+α)=cosα;cos(90°+α)=-sinα;

7.sinα/cosα=tgα;

Answer 2

Можна використати формули тригонометрії для суми кутів:

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Застосуємо їх до вихідного виразу:

sin(45°+a) + cos(45°+a)
= sin(45°)cos(a) + cos(45°)sin(a) + cos(45°)cos(a) - sin(45°)sin(a)
= (sin(45°) + cos(45°))(cos(a) + sin(a))

sin(45°+a) - cos(45°+a)
= sin(45°)cos(a) + cos(45°)sin(a) - cos(45°)cos(a) + sin(45°)sin(a)
= (sin(45°) - cos(45°))(sin(a) - cos(a))

Підставляємо ці значення в вихідний вираз:

sin(45°+a) + cos(45°+a) / sin(45°+a) - cos(45°+a)
= ((sin(45°) + cos(45°))(cos(a) + sin(a))) / ((sin(45°) - cos(45°))(sin(a) - cos(a)))

Зауважимо, що sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Отже, можемо спростити деякі доданки:

sin(45°+a) + cos(45°+a) / sin(45°+a) - cos(45°+a)
= ((1/√2 + 1/√2)(cos(a) + sin(a))) / ((1/√2 - 1/√2)(sin(a) - cos(a)))
= ((cos(a) + sin(a))) / ((sin(a) - cos(a))/√2)
= -((cos(a) + sin(a))) / ((cos(a) - sin(a))/√2)
= -√2((cos(a) + sin(a))) / (cos(a) - sin(a))