Question

Дайте толковый ответ, плизззз!   1) Найдите наибольшее значение функции y=log_{5}(4-2x-x^2)+3   2) Найдите наименьшее значение функции y=log_{3}(x^2-6x+10)+2

Answer 1

1)
Область определения:
4 - 2x - x^2 > 0
x^2 + 2x - 4 < 0
x^2 + 2x + 1 - 5 < 0
(x+1)^2 - (√5)^2 < 0
(x+1-√5)(x+1+√5) < 0
x ∈ (-1-√5; -1+√5)
Локальные экстремумы будут в точках, в которых производная равна 0.
Производная

x = -1 ∈ (-1-√5; -1+√5)

Знаменатель > 0, потому что скобка (4-2x-x^2) > 0, по области определения логарифма. Числитель -2(x+1)>0 при x<-1, значит, график возрастает, а при x>-1 график убывает. Значит, -1 точка максимума.
Ответ: Наибольшее значение y(-1) = 4

2)
Область определения:
x^2 - 6x + 10 > 0
x^2 - 6x + 9 + 1 > 0
(x - 3)^2 + 1 > 0
Сумма квадрата и положительного числа положительна при любом x.
x ∈(-oo; +oo)
Локальные экстремумы будут в точках, в которых производная равна 0.

x = 3

Здесь все наоборот. Знаменатель тоже >0. Числитель 2(x-3)<0 при x<3 (график убывает) и 2(x-3)>0 при x>3 (график возрастает).
Значит, 3 - точка минимума.
Ответ: Наименьшее значение y(3) = 2

Answer 2

1) Для начала нужно найти область определения данной функции. Так как мы берем логарифм от выражения 4-2x-x^2, то нужно решить неравенство 4-2x-x^2 > 0. Оно имеет вид x^2+2x-4<0, что эквивалентно (x+1-√5)(x+1+√5)<0. Решением будет (-1-√5, -1+√5). Таким образом, областью определения будет интервал (-1-√5, -1+√5).

Для нахождения максимального значения функции нужно найти точку максимума или область монотонности. Производная функции y=log_{5}(4-2x-x^2) равна y'=-\frac{2x+2}{(4-2x-x^2)\ln{5}}. Она равна 0 при x=-1. Так как область определения функции не содержит точек монотонности, то выводим, что наибольшее значение функции будет в точке x=-1.

y=log_{5}(4-2x-x^2)+3=log_{5}(-1)+3=-\frac{1}{\ln{5}}+3.

Ответ: наибольшее значение функции равно -\frac{1}{\ln{5}}+3.

2) Сначала найдем область определения. Она состоит из тех значений x, для которых x^2-6x+10>0. Это квадратное уравнение имеет дискриминант D=2^2-4*1*10=-36, что означает, что корней нет и функция определена на всей числовой прямой (-∞, +∞).

Для нахождения минимального значения нужно найти точку минимума или область монотонности. Производная функции y=log_{3}(x^2-6x+10) равна y'=\frac{2x-6}{(x^2-6x+10)\ln{3}}. Она равна 0 при x=3. Так как область определения функции не содержит точек монотонности, то выводим, что наименьшее значение функции будет в точке x=3.

y=log_{3}(x^2-6x+10)+2=log_{3}((x-3)^2+1).

Ответ: наименьшее значение функции равно 2.