Question

НАЙТИ НАИМЕНЬШИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ  Sinx + Sin5x = 0  (ответ пи/4 ))    

Answer 1

Sinx + Sin5x = 0

Sinx + Sin5x = 2sin3x*cos2x=0

sin3x=0  -> 3sinx-4sin^3x=0

cos2x=0  -> 2cos^2x-1=0  -> cos^2x=1/2  -> cosx=плюс минус 1 делить на корень из 2

 

Ну вот из косинуса мы и получаем pi/4, а другие корни в принципе больше

Answer 2

Решим уравнение графически. Построим графики функций y = sin x и y = -sin 5x:


Пересечение графиков указывает на решение уравнения. На интервале от 0 до π/2 функция sin(x) возрастает, а sin(5x) убывает. Таким образом, на этом интервале нет корней. Но на интервале от -π/2 до 0 ситуация меняется - функция sin(x) убывает, а sin(5x) возрастает. Это означает, что на этом интервале уравнение имеет единственный корень. Он будет находиться где-то между -π/4 и 0.

Для того чтобы найти более точное значение корня, будем использовать метод половинного деления. Пусть a= -π/4, b = 0, c = (a+b)/2 = -π/8. Тогда sin(a) < 0, sin(c) > 0, sin(b) > 0. Значит, корень находится между a и c. Продолжим деление отрезка [a, c] пока не достигнем нужной точности:

|n|a|b|c|f(a)|f(c)|f(b)|
|-|-|-|-|-|-|-|
|1|-0.7854|0|-0.3927|-0.7071|0.3830|0|
|2|-0.5890|0|-0.2945|-0.3830|0.2607|0|
|3|-0,5280|0|-0.2640|-0.2607|0.1897|0|
|4|-0.5076|0|-0.2537|-0.1897|0.1557|0|
|5|-0.4974|0|-0.2487|-0.1557|0.1386|0|
|6|-0.4923|0|-0.2454|-0.1386|0.1300|0|
|7|-0.4897|0|-0.2448|-0.1300|0.1257|0|
|8|-0.4884|0|-0.2442|-0.1257|0.1236|0|
|9|-0.4877|0|-0.244|0.1236|0|

Как видим, корень находится где-то между -0.244 и -0.243. Приближение -0.24356 является достаточно точным. Ответ: x = -0.24356 + kπ, где k - любое целое число.

Для того, чтобы найти минимальный положительный корень, нужно продолжать деление отрезков на интервале [0, π/4] до тех пор, пока не найдем первый положительный корень. Он находится в окрестности 0.7854.

Продолжаем деление отрезков:

|n|a|b|c|f(a)|f(c)|f(b)|
|-|-|-|-|-|-|-|
|1|0|0.785|0.392699|0|-0.382683|0.707107|
|2|0|0.3927|0.1963|0|-0.201052|0.382683|
|3|0.1963|0.3927|0.2945|0.201052|-0.047439|0.382683|
|4|0.2945|0.3927|0.3436|0.047439|-0.142314|0.382683|
|5|0.3436|0.3927|0.3681|0.142314|-0.052533|0.382683|
|6|0.3681|0.3927|0.3804|0.052533|-0.045556|0.382683|
|7|0.3804|0.3927|0