Question

Функция y=x+4/x непрерывна на отрезке [1; 5].Найти её наибольшее и наименьшее значения.

Answer 1

у'=(х+4/х)'=1-4/(х^2)
1-4/х^2=0
-4/х^2=-1
Х^2=4
Х1=2;x2=-2
-2 не принадлежит [1;5]
У(1)=1+4/1=5
У(2)=2+4/2=4
У(5)=5+4/5=5 4/5
У наим=4
Унаиб=5 4/5

Answer 2

Находим производную функции: y' = 1 - 4/x^2.
Решаем уравнение y' = 0:
1 - 4/x^2 = 0
4/x^2 = 1
x^2 = 4
x1 = -2, x2 = 2
Так как наша функция определена на отрезке [1; 5], то x1 не подходит. Значит, единственная возможность - x2 = 2.
Исследуем функцию на наличие экстремумов:
y'' = 8/x^3
y''(2) = 2 > 0, значит, в точке x = 2 функция имеет локальный минимум.
Находим значения функции в концах отрезка и в точке минимума:
y(1) = 5
y(2) = 3
y(5) = 9/5
Значит, наибольшее значение функции на отрезке [1; 5] равно 9/5, а наименьшее значение равно 3.