Question

Доказать тождества 1)cos3x=4cos^3x-3cosx 2)sin3x=3sinx-4sin^3x

Answer 1

1) cos3x = cos(2x+x) = cos2x cosx - sin2x sinx =
=(2cos^2 x -1)cosx - 2sinx cosx sinx x = 2cos^3 x - cosx - 2sin^2 x cosx =
= 2cos^3 x - cosx - 2cosx + 2cos^3 x = 4cos^3 x - 3cosx
2) sin3x = sin(2x + x) = sin2x cosx + cos2x sinx =
=2sinx cosx cosx + (1-2sin^2 x)sinx = 2sinx (1-sin^2 x) + sinx - 2sin^3 x =
= 2sinx - 2sin^3 x + sinx -2sin^3 x = 3sinx - 4sin^3 x

Answer 2

Начнем с доказательства первого тождества:

1. cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Для доказательства этого тождества мы воспользуемся формулой для косинуса суммы:

cos(A+B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Заметим, что cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x).

Мы можем использовать тригонометрические формулы для разложения cos(2x) и sin(2x) и заменить их в формуле для cos(3x):

cos(3x) = (cos^2(x) - sin^2(x))cos(x) - 2sin(x)cos(x)sin(x)

cos(3x) = cos^3(x) - sin^2(x)cos(x) - 2sin^2(x)cos(x)

cos(3x) = cos^3(x) - (1 - cos^2(x))cos(x) - 2(1 - cos^2(x))cos(x)

cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Таким образом, мы доказали первое тождество.

Теперь рассмотрим второе тождество:

2. sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

Мы можем использовать формулу для синуса суммы:

sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Заметим, что sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x)cos(x) + cos(2x)sin(x)

Мы можем использовать тригонометрические формулы для разложения sin(2x) и cos(2x) и заменить их в формуле для sin(3x):

sin(3x) = (2sin(x)cos(x))cos(x) + (1 - 2sin^2(x))sin(x)

sin(3x) = 2sin^2(x)cos(x) + sin(x) - 2sin^3(x)

sin(3x) = sin(x)(2cos^2(x) + 1 - 2sin^2(x))

sin(3x) = sin(x)(1 - 4sin^2(x))

sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

Таким образом, мы доказали второе тождество.