Question

Найти значение выражения (14sinx+21cosx)/(cosx-sinx)=? если ctg(x/2)=1/2

Answer 1

$ctg\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\\\\ ctg\frac{x}{2}=\frac{sinx}{1-cosx}=\frac{1}{2}\\\\ 2sinx=1-cosx\\\\ 2\sqrt{1-cos^2x}=1-cosx\\\\ 4(1-cos^2x)=1-2cosx+cos^2x\\\\ 4-4cos^2x=1-2cosx+cos^2x\\\\ 5cos^2x-2cosx-3=0\\\\ cosx=a\\\\ 5a^2-2a-3=0\\\\ D= 4+4*3*5=8^2\\\\ a=\frac{2+8}{10}=1\\ a=\frac{2-8}{10}=-\frac{3}{5}\\\\ cosx=1\\\\ cosx=-\frac{3}{5}\\\\ sinx=1\\\\ sinx=\frac{4}{5}\\\\ cosx \neq sinx \neq 1\\\\ \frac{14*\frac{4}{5}+21*-\frac{3}{5}}{-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}}=1$

Answer 2

Мы можем использовать формулы тригонометрии, чтобы переписать числитель и знаменатель выражения в терминах sin(x) и cos(x).

ctg(x/2) = 1/2 означает, что

ctg(x/2) = cos(x/2)/sin(x/2) = 1/2

Поэтому sin(x/2)/cos(x/2) = 2.

Мы можем использовать формулы половинного угла тригонометрии, чтобы найти sin(x) и cos(x) в терминах sin(x/2) и cos(x/2):

sin(x) = 2*sin(x/2)*cos(x/2) cos(x) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)

Теперь мы можем подставить эти значения в исходное выражение:

(14sin(x) + 21cos(x)) / (cos(x) - sin(x))

= [142sin(x/2)cos(x/2) + 21(cos^2(x/2) - sin^2(x/2))] / [(cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) - 2*sin(x/2)*cos(x/2)]

= [28sin(x/2)cos(x/2) + 21cos^2(x/2) - 21sin^2(x/2)] / [cos^2(x/2) - sin^2(x/2) - 2*sin(x/2)*cos(x/2)]

= [28sin(x/2)cos(x/2) + 21(cos^2(x/2) - sin^2(x/2))] / [cos^2(x/2) - sin^2(x/2) - 2sin(x/2)*cos(x/2)]

= [28*sin(x/2)cos(x/2) + 21cos(x)] / [cos(x) - sin(x)]

= [28*(sin(x/2)/cos(x/2))cos^2(x/2) + 21cos(x)] / [cos(x) - sin(x)]

= [28*(sin(x/2)/cos(x/2))cos^2(x/2) + 21(cos^2(x/2) - sin^2(x/2))] / [cos(x) - sin(x)]

= [(28/2)(sin(x/2)/cos(x/2))2cos^2(x/2) + 21(cos^2(x/2) - sin^2(x/2))] / [cos(x) - sin(x)]

= [14*(sin(x/2)/cos(x/2))cos(x) + 21(cos^2(x/2) - sin^2(x/2))] / [cos(x) - sin(x)]

= [14*(2/sin(x))-21*(1/sin(x))] / [1-(2/sin(x))]

= (28-21*sin(x))/ (sin(x)-2)

Теперь мы можем использовать известное значение ctg(x/2), чтобы найти sin(x/2) и cos(x/2):

ctg(x/2) = cos(x/2)/sin(x/2) = 1/2

cos(x/2) = 1/2 * sin(x/2)

Тогда мы можем выразить sin(x/