Question

из листа металла размером a на b нужно сварить бак прямоугольной формы без крышки так, сто бы его объем был наибольшим . какими будут размеры этого бака и его объем a=2 b=2,5

Answer 1

Ответ:

V ≈ 0,82

Объяснение:

Нам нужно вырезать квадратные уголки размером х на х.

Показано на рисунке.

Получится длина бака L=b-2x=2,5-2x, ширина M=a-2x=2-2x, и высота H=х.

Объем V = L*M*H = (2,5-2x)(2-2x)*x

Объем будет максимальным, когда его производная будет равна 0.

V' = (-2)(2-2x)*x + (-2)(2,5-2x)*x + (2,5-2x)(2-2x) = 0

Раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение

12x^2 - 18x + 5 = 0

D = 18^2 - 4*12*5 = 324 - 240 = 84

x1 = (18-√84)/24 = (9-√21)/12 ≈ 0,37

x2 = (18+√84)/24=(9+√21)/12 ≈ 1,13

Второй корень не подходит, потому что ширина получается меньше 0.

M = 2 - 2x = 2 - 2,26 = - 0,26

Получаем:

H = x = (9-√21)/12 ≈ 0,37

M = 2 - 2x ≈ 1,26

L = 2,5 - 2x ≈ 1,76

V = L*M*H ≈ 1,76*1,26*0,37 ≈ 0,82

Answer 2

Для того чтобы найти размеры бака, которые обеспечивают максимальный объем, нужно использовать формулу для объема параллелепипеда:

V = l * w * h,

где l, w и h - длина, ширина и высота бака соответственно.

Так как у нас есть только два измерения, a и b, нужно решить эту задачу как задачу оптимизации с ограничениями.

Мы знаем, что бак должен иметь форму прямоугольника, и мы должны максимизировать его объем. Предположим, что длина бака - это a, а ширина - это b. Тогда высота будет h = x, где x - это переменная, которую мы будем оптимизировать.

Таким образом, у нас есть функция объема:

V = a * b * x

и ограничение на высоту:

x <= b/2

(иначе бак не будет иметь форму прямоугольника)

Так как мы хотим найти максимальный объем, мы можем найти производную V по x, приравнять ее к нулю и решить уравнение для x:

dV/dx = a * b = 0 x = b/2

Таким образом, чтобы получить максимальный объем, высота бака должна быть равна половине его ширины. Подставляя это значение в формулу для объема, получаем:

V = a * b * (b/2) = ab^2/2 = 2 * 2.5^2 / 2 = 6.25

Таким образом, размеры бака должны быть a = 2, b = 2.5, а его максимальный объем составляет 6.25 кубических единиц.